РАЦИОНАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

РАЦИОНАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

а л г е бр а и ч е с к о й г р у п п ы G - линейное представление алгебраич. группы G над алгебраически замкнутым полем kв конечномерном векторном пространстве Vнад k, являющееся рациональным (и тем самым регулярным) гомоморфизмом группы Gв GL(V). Говорят также, что V - р а ц и о н а л ь н ы й G-м о д у л ь. Прямая сумма и тензорное произведение конечного числа Р. п. группы G являются Р. п.; подпредставление и факторпредставление нек-рого Р. п. являются Р. п.; симметрическая или внешняя степень любого Р. п. является Р. п.; представление, контрагредиентное к Р. п., является Р. п.

Если G конечна, то всякое ее линейное представление будет Р. п. и теория Р. п. сливается с теорией представлений конечных групп. В наибольшей степени специфич. методы теории линейных алгебраич. групп используются при исследовании Р. п. в том случае, когда рассматриваемая группа связна, причем наиболее глубоко развита теория Р. п. связных полупростых алгебраич. групп. Далее G - такая группа. Пусть Т - ее максимальный тор, Х(T) - его группа рациональных характеров (записываемая аддитивно), S - система корней группы G относительно Т, W - ее группа Вейля. И пусть есть Р. п. Ограничение представления j на Т разлагается в прямую сумму одномерных представлений, точнее


где Pj МX(T)-нек-рое множество характеров тора Т, называемых в е с а м и представления, а


Множество весов Р j инвариантно относительно W. Если char k=0, то всякое Р. п. группы G вполне приводимо, но если char k>0, то это уже не так (см. Мамфорда гипотеза). Однако при любой характеристике поля kимеется полное описание неприводимых Р. п. Пусть В- борелевская подгруппа в G, содержащая Т, и D - определяемая ею система простых корней в S. Группа X (B)рациональных характеров группы Вотождествляется с Х(T). В пространстве Vлюбого неприводимого Р. п. существует единственное одномерное весовое подпространство V(dj), , инвариантное относительно группы В. Характер dj наз. с т а р ш и м в е с о м н е п р и в о д и м ог о Р. п. j; он доминантен, т. е. скалярное произведение для любого , а всякий другой вес имеет вид


Отображение определяет биекцию между классами эквивалентных неприводимых Р. п. и доминантными элементами из Х(Т). Явная конструкция всех неприводимых Р. п. может быть получена следующим образом. Пусть - алгебра регулярных функций на G. Для любого рассматривается подпространство


Оно конечномерно и является рациональным G-модулем относительно действия группы G левыми сдвигами. Геометрич. смысл этого пространства таков: оно канонически отождествляется с пространством регулярных сечений одномерного однородного векторного расслоения над G/B, определенного характером -c. Пусть - элемент, переводящий положительные корни в отрицательные. Тогда если , то c- доминантный характер и минимальный ненулевой G-подмодуль в является неприводимым рациональным G-модулем со старшим весом c. Всякий неприводимый рациональный G-модуль получается при помощи такой конструкции. Если char k=0, то уже сам G-модуль неприводим.

Для получения неприводимых Р. п. часто используются упомянутые выше операции над Р. п. Напр., если ji-- неприводимое Р. п. со старшим весом ci, i=1, ..., d, то нек-рое факторпредставление является неприводимым Р. п. со старшим весом ci + +...+cd (оно наз. к а р т а н о в с к о й к о м п оз и ц и е й Р. п. j1, . . ., jd). Если j - неприводимое Р. п. со старшим весом c, то нек-рое факторпредставление является неприводимым Р. п. со старшим весом dc, а j* - неприводимо и его старшим весом является -

Пусть - алгебра Ли группы G. Если есть Р. п., то его дифференциал dj является представлением алгебры Ли . Р. и. j наз. инфинитезимально неприводимым, если dj - неприводимое представление алгебры . Инфинитезимально неприводимое Р. п. неприводимо, а в случае char k=0 верно и обратное (что в значительной степени сводит теорию Р. п. группы к теории представлений ее алгебры Ли), однако в случае char k>0 это уже не так. Инфинитезимально неприводимые Р. п. в этом случае - это в точности неприводимые Р. п. со старшими весами c, для к-рых


Более того, все неприводимые Р. п. могут быть построены при помощи Инфинитезимально неприводимых. Точнее, если G односвязна, т. е. если X(Т)совпадает с решеткой весов корневой системы S, то всякое неприводимое Р. п. однозначно разлагается в тензорное произведение вида


где ji0, j1 . . ., jd Инфинитезимально неприводимы, а - представление, полученное применением к матричным элементам представления ji автоморфизма Фробениуса


Лит.:[1] Б о р е л ь А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] е г о ж е, в кн.: Algebraic geometry, Providence, 1975, p. 421-40 (Proc. Symposia in pure math., v. 29, Arkata, 1974); [3] Х а м ф р и Д ж., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980; [4] Семинар по алгебраическим группам, пер. с англ., М., 1973; [5] С т е й н б е р г Р., Лекции о группах Шевалле, пер. с англ., М., 1975; [6] е г о ж е, "Nagoya math. J.", 1963, v. 22, p. 33-56; [7] Hochschild G., The structure of Lie groups, S. F., 1965; [8] H u m p h r e y s J. E., Introduction to Lie algebras and representation theory, N. Y. - [a. o.], 1972. В. Л. Попов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "РАЦИОНАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ" в других словарях:

  • Рациональное и иррациональное в познавательной деятельности — В познании и познавательной деятельности людей выделяют рациональные и иррациональные элементы. Поэтому познание делят на рациональное, то есть осуществляющееся при помощи рациональных элементов, и иррациональное, которое осуществляется при… …   Википедия

  • Рациональное экономическое поведение — [economic ra­tio­nality, economizing] теоретическое представление о поведении экономического субъекта (потребителя, производителя, хозяйственной организации и т.п.), которое удовлетворяет некоторым заданным правилам установления предпочтений.… …   Экономико-математический словарь

  • рациональное экономическое поведение — Теоретическое представление о поведении экономического субъекта (потребителя, производителя, хозяйственной организации и т.п.), которое удовлетворяет некоторым заданным правилам установления предпочтений. Например, для потребителей это правила… …   Справочник технического переводчика

  • Рациональное число — Четверти Рациональное число (лат. ratio  отношение, деление, дробь)  число, представляемое обыкновенной дробью , числитель   целое число, а знаменатель   …   Википедия

  • Знание и социальное представление —         «ЗНАНИЕ И СОЦИАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ» книга Д. Блура представителя Эдинбургской школы, в которой выдвинута натуралистическая программа социологии познания, которую автор называет «сильной программой». В соответствии с принятой… …   Энциклопедия эпистемологии и философии науки

  • Уравнения Максвелла —     Классическая электродинамика …   Википедия

  • Наука и религия —    первое и самое крупное философское произв. Чичерина, в к ром были сформулированы осн. идеи его системы: исходные положения гносеологии и антропологии, этики и эстетики, философии права, философии религии и философии истории. Работа издавалась… …   Русская Философия. Энциклопедия

  • Шнитке — Альфред Гариевич (1934 1998) Русский композитор советского и постсоветского периодов. Родившись в г.Энгельсе АССР немцев Поволжья (ныне Саратовская обл.), большую часть жизни прожил в Москве, с 1989 в Гамбурге (ФРГ). Один из наиболее крупных… …   Энциклопедия культурологии

  • АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ГРУППА — подгруппа Н линейной алгебраической группы G, определенной над полем рациональных чисел, удовлетворяющая следующему условию: существует точное рациональное представление определенное над (см. Представлений теория), такое, что соизмерима с где… …   Математическая энциклопедия

  • Деизм — Религия лат. deus  бог)  религиозно философское направление, признающее существование Бога и сотворение Им мира, но отрицающее большинство сверхъестественных и мистических явлений, божественное откровение и религиозный догматизм.… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»