АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ГРУППА

подгруппа Н линейной алгебраической группы G, определенной над полем рациональных чисел, удовлетворяющая следующему условию: существует точное рациональное представление определенное над (см. Представлений теория), такое, что соизмерима с где - кольцо целых чисел (подгруппы А ч В группы Сназ. соизмеримыми, если имеет конечный индекс в ). Тогда для любого другого точного -определенного представления это условие также будет выполнено. Более общо, А. г.- подгруппа алгебраич. группы , определенной над глобальным полем , соизмеримая с группой 0-точек группы , где - кольцо целых элементов поля k. А. г.. является дискретной подгруппой в .

Если есть -эпиморфизм алгебраич. групп, то для всякой А. г. образ - А. г. в (см. [1]). Иногда называют А. г. абстрактную группу, изоморфную арифметич. подгруппе нек-рой алгебраич. группы. Напр., если k - поле алгебраич. чисел, то группа где группа получается из ограничением поля определения с А- на .В теории групп Ли арифметич. подгруппами наз. также образы арифметич. подгрупп группы вещественных точек при факторизации по компактным нормальным делителям.

Лит.;[1] Борель А., "Математика", 1968, т. 12, № 5, с. 34-90; № 6, с. 3-30; [2] Борель А., Xаpиш - Чандра, (.Математика", 1964, т. 8, № 2, с. 19-71; [3] Арифметические группы и автоморфиые функции, пер. с англ, и франц.. М., 1969. В. П. Платонов.