ПУАНКАРЕ КОМПЛЕКС

- обобщение понятия многообразия; пространство, группы гомологии к-рого устроены в нек-ром смысле так же, как группы гомологии замкнутого ориентируемого многообразия. А. Пуанкаре (Н. Poincare) обнаружил, что группы гомологии многообразия удовлетворяют нек-рому соотношению (изоморфному Пуанкаре двойственности). П. к. представляет собой пространство, где аксиоматизирован этот изоморфизм (см. также Пуанкаре пространство).

Алгебраический комплекс Пуанкаре - цепной комплекс с формальной двойственностью Пуанкаре - аналог прежнего.

Пусть С= {С _i}- пополненный цепной комплекс, с С _i=О при i>0 такой, что его группы гомологии конечно порождены. Пусть, кроме того, комплекс Сснабжен такой (цепной) диагональю , что , где - пополнение (и Сотождествляется с и ). Наличие диагонали позволяет определить спаривание

Комплекс Сназ. геометрическим, если задана цепная гомотопия между D и ТD, где - перестановка сомножителей

Геометрич. цепной комплекс наз. алгебраическим П. к. формальной размерности п, если существует такой элемент бесконечного порядка , что для любого kгомоморфизм есть изоморфизм.

Примерами алгебраич. П. к. являются комплекс сингулярных цепей ориентируемого замкнутого многообразия или, более общо, П. к., определенный выше, с подходящими условиями конечности. Можно определить также цепные пары Пуанкаре - алгебраич. аналоги пар Пуанкаре (X, А). Рассматриваются также П. к. (и цепные пары Пуанкаре) модулей над подходящими кольцами. Ю. Б. Рудяк.