- ПУАНКАРЕ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
модель, реализующая геометрию плоскости Лобачевского (гиперболич. геометрию) на плоскости комплексного переменного. В П. и. с круговым абсолютом каждая точка единичного круга Е={z:|z|<1} в плоскости z наз. гиперболической точкой, а сам круг - гиперболической плоскостью. Дуги окружностей (и диаметр) в Е, ортогональные к граничной окружности W={z:|z|=l}, наз. гиперболическими прямыми. Каждая точка W наз. идеальной точкой. Гиперболич. прямые с общей гиперболич. точкой наз. пересекающимися прямыми; с общей идеальной точкой - параллельными прямыми; прямые, к-рые не пересекаются и не параллельны,- гиперпараллель-н ы м и (расходящимися) прямыми. Так, напр., на рис. 1 изображены две прямые, проходящие через точку z1, параллельно прямой z2z3.
В П. и. в полуплоскости Н={z=x+iy|y>0} каждая точка верхней полуплоскости наз. гиперболической точкой, а сама полуплоскость - гиперболической плоскостью. Полуокружности и полупрямые, ортогональные действительной оси, наз. гиперболическими прямыми. Множеством идеальных точек (абсолютом) является ось и бесконечно удаленная точка плоскости z. действительная
Аналогично П. и. с круговым абсолютом определяются параллельные, пересекающиеся и расходящиеся прямые. Так, напр., на рис. 2 изображены две прямые, проходящие через точку z1 параллельно прямой z2 z3.
Движения описываются конформными преобразованиями, переводящими абсолют в себя. Расстояния определяются с помощью двойного отношения четырех точек
где
- идеальная точка полупрямой, исходящей из z1 и проходящей через 
- идеальная точка полупрямой, исходящей из z2 и проходящей через z1; k - произвольное положительное постоянное;
Величины углов в П. и. совпадают с величинами углов в геометрии Лобачевского.
П. и. предложена А. Пуанкаре (Н. Poincare, 1882). Лит.:[1] Клейн Ф., Элементарная математика с точки зрения высшей, пер. с нем., т. 2, М.-Л., 1934; [2] Каган В. Ф., Лобачевский и его геометрия, М., 1955; [3] Гильберт Д., Кон-Фоссен С., Наглядная геометрия, пер. с нем., 3 изд., М.- Л., 1981; [4] Пуанкаре А., Избранные труды, [пер. с франц.], М., 1974; [5] Неванлинна Р., Униформивация, пер. с нем., М., 1955; [6] Sansone G., GerretsenJ., Lectures on the theory of functions of a complex variable, [v.] 2, Geometric theory, Groningen, 1969.
А. Б. Иванов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
