ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО


ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО

совокупность всех подпространств инцидентностной структуры p-= , где элементы множества наз. точками, а элементы множества - прямыми, I - отношение инцидентности. Подпространством инцидентностной структуры p наз. подмножество S множества , для к-рого справедливо условие: если , то Множество точек прямой, проходящей через точки ри q, также принадлежат S. Инцидентностная структура p удовлетворяет следующим требованиям:

1) для любых двух различных точек ри qсуществует единственная прямая Lтакая, что pIL, qIL;

2) каждая прямая инцидентна по крайней мере с тремя точками;

3) если две различные прямые L, M пересекаются в точке ри выполнено qIL и rIL,a sIM, tIM, то прямые, проходящие через пары точек r, t и s, q, пересекаются.

Подпространство Sпорождено множеством sточек из (пишут S=<s>), если Sявляется пересечением всех подпространств, содержащих s. Множество точек s наз. независимым, если для любого имеет место . Упорядоченное максимальное и независимое множество точек подпространства Sназ. базисом S, а число его элементов d(S) - размерностью подпространства S. Подпространство размерности 0 является точкой, размерности 1 - проективной прямой. Подпространство размерности 2 наз. проективной плоскостью.

В П. н. определены операции сложения и пересечения подпространств. Суммой Р mk подпространств Р m и Pk наз. наименьшее из подпространств, содержащее и Р m, и Pk. Пересечением подпространств

Р m и Р k наз. наибольшее из подпространств, содержащееся и в Р m, и в Pk. Размерности подпространств Р m, Р k, их суммы и пересечения связаны соотношением


Для любого Р m существует Pn-m-1 такое, что Р тPn-m-1=P-1= И Pm +Pn-m-1= Pn (Pn-m-1- дополнение Р т в Pn), и если Р т Р r, то


для любого Pk (дедекиндово правило), т. е. относительно введенных операций П. п. является дедекиндовой решеткой с дополнениями.

П. п. размерности больше двух дезаргово (см. Дезарга предложение), а следовательно, изоморфно П. п. (левому или правому) над подходящим телом k (см. [1]). (напр., левое) размерности пнад телом k - совокупность линейных подпространств нек-рого (n+1 )-мерного левого линейного пространства над телом k;точками являются прямые , т. е. множества классов эквивалентности слева строк ( х 0, x1, . . ., х п), составленных из элементов тела kи не равных одновременно нулю (строки (x0, x1, . . ., х n).и (y0, y1, . . ., yn).эквивалентны слева, если существует такое , что xi=lyi, i=0, l, . . ., n); подпространствами являются (n+1 )-мерные подпространства . Можно установить нек-рое соответствие между левым и правым П. п., при к-ром подпространству соответствует (подпространства и наз. дуальными друг другу), пересечению подпространств соответствует сумма, а сумме - пересечение. Если нек-рое утверждение, основанное только на свойствах линейных подпространств, их пересечений и сумм, справедливо для , то справедливо и соответствующее утверждение для . Это соответствие между свойствами пространств и наз. принципом двойственности для П. п. (см. |2]).

Конечное тело необходимо коммутативно, следовательно, конечное П. п. размерности больше двух и порядка qизоморфно П. п. над Галуа полем PG(n, q). Конечное П. п. Р( п, q).содержит (q п+1-1)/(q-1) точек и подпространств размерности r(см. [4]).

Коллинеацией П. п. является перестановка ее точек, к-рая отображает прямые в прямые, при этом подпространства отображаются на подпространства. Нетривиальная коллинеация П. п. имеет не более одного центра и не более одной оси. Группа коллинеа-ций конечного П. п. PG(n, ph).имеет порядок, равный


Каждое П. п. PG(n, q).допускает циклическую транзитивную группу коллинеаций (см. [3]).

Корреляцией d П. <п. является перестановка подпространств, к-рая меняет включения, т. е. если , то . П. п. допускает корреляцию, только если оно конечномерно. Важное значение в проективной геометрии играет корреляция порядка два, наз. поляритетом.

Лит.:[1] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969; [2] Ходж В., Пидо Д., Методы алгебраической геометрии, пер. с англ., т. 1, М., 1954; [3) Dеmbоwski P., Finite geometries, В. -[а. о.], 1968; [4] Segre В., Lectures on modern geometry, Roma, 1961. В. В. Афанасьев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО" в других словарях:

  • Проективное пространство — над телом   пространство, состоящее из прямых (одномерных подпространств) некоторого линейного пространства над данным телом. Прямые пространства называются точками проективного пространства. Если имеет размерность , то размерностью… …   Википедия

  • Проективное пространство —         в первоначальном смысле евклидово пространство, дополненное бесконечно удалёнными точками, прямыми и плоскостью, называемыми также несобственными элементами (см. Бесконечно удалённые элементы). При этом каждая прямая дополняется одной… …   Большая советская энциклопедия

  • ПРОЕКТИВНОЕ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЕ — введение в подмножествах проективного пространства методами проективной геометрии такой метрики, при к рой эти подмножества оказываются изоморфными евклидову, гиперболическому или эллиптическому пространствам. Это достигается выделением из класса …   Математическая энциклопедия

  • Проективное преобразование —         взаимно однозначное отображение проективной плоскости (См. Проективная плоскость) или проективного пространства (См. Проективное пространство) в себя, при котором точки, лежащие на прямой, переходят в точки, также лежащие на прямой… …   Большая советская энциклопедия

  • Проективное покрытие — в геоботанике показатель, определяющий относительную площадь проекции отдельных видов или их групп, ярусов и т.д. фитоценоза на поверхность почвы. Проективное покрытие является одним из основных показателей обилия в фитоценологии. Различают общее …   Википедия

  • ПРОЕКТИВНОЕ МНОЖЕСТВО — множество, к рое может быть получено из борелевских множеств повторным применением операций проектирования и перехода к дополнению. П. м. классифицируются по классам, образующим проективную иерархию. Пусть I=ww бэровское пространство… …   Математическая энциклопедия

  • ПРОЕКТИВНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — группы G гомоморфизм этой группы в группу PGL(V).проективных преобразований проективного пространства P(V), связанного с векторным пространством Vнад полем k. С каждым П. п. ср группы Gсвязано центральное расширение этой группы (*) где р естеств …   Математическая энциклопедия

  • ПРОЕКТИВНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — взаимно однозначное отображение F .проективного пространства ПД на себя, сохраняющее отношение порядка частично упорядоченного (по включению) множества всех подпространств П n, т. е. отображение П n в себя такое, что 1) если , то ; 2) для каждого …   Математическая энциклопедия

  • Трёхмерное пространство — Трёхмерная метрика пространства …   Википедия

  • Двумерное пространство — У этого термина существуют и другие значения, см. 2D. У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство. Двумерное пространство (иногда говорят двухмерное пространство) геометрическая модель плоской проекции физического мира, в… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.