БЕСКОНЕЧНО МАЛОЕ ИЗГИБАНИЕ

понятие, первоначально возникшее при описании деформации поверхности Fв трехмерном евклидовом пространстве, при к-рой изменение длин кривых на Fявляется величиной порядка малости меньшего, чем изменение пространственного расстояния между точками этих кривых. По существу же в теории Б. м. и. исследуются векторные поля и связанные с ними величины, определенные в точках Fи удовлетворяющие тем уравнениям, к-рые являются линеаризацией уравнений изгибания F.

Так, если - радиус-вектор деформации поверхности , то Б. м. и. Fхарактеризуется (начальной) скоростью деформации - вектором

к-рый удовлетворяет уравнению

или

где - радиус-вектор . Вектор , наз. также полем скоростей Б. м. и., или изгибающим полем. Однозначно определяется вектор утакой, что - множество точек пространства, описываемое радиус-вектором у, наз. диаграммой вращения Б. м. и. См. также Дарбу поверхности.

В более общей ситуации Б. м. и. многообразия , расположенного в римановом пространстве , представляет собой изометрич. вариацию вложения : , т. е. такое векторное поле вдоль вложения

где - касательное расслоение к , к-рое удовлетворяет на уравнению

здесь - векторные поля, касательные к вложению, - метрическая форма - ковариантная произвольная относительно Леви-Чи-вита связности на , соответствующей . Поле однозначно определяет поле кососимметрических тензоров типа (1,1) вдоль вложения: удовлетворяющее уравнению

где - оператор римановой кривизны .

Если индуцируется Киллинга вектором т. е. то соответствующее Б. м. и. (а также и Само Z).наз. тривиальным. Если допускает только тривиальные Б. м. и., то оно наз. жестким. См. Жесткость.

При геодезическом отображении Б. м. и. с вектором однозначно соответствует Б. <м. и. с вектором , причем

где - потенциал отображения F. В частности, это соответствие имеет место при проективном преобразовании евклидова пространства (теорема Дарбу- 3ауэра) и при геодезич. отображении евклидова пространства в пространство постоянной кривизны (преобразование Погорелова).

Изометрич. вариациям высших порядков соответствуют Б. м. и. высших порядков: для них, в отличие от определенных выше Б. м. и. первого порядка, известны лишь отдельные результаты, в основном касающиеся поверхностей вращения.

Теория Б. м. и. имеет многочисленные приложения в математике и механике, в частности она применяется в задачах изометрич. вложения методом продолжения по параметру, для исследования изометричных поверхностей пространств постоянной кривизны (см. Кон-Фоссена преобразование), в вопросах устойчивости оболочек и т. д..

Лит.:[1] Ефимов Н. В., "Успехи матем. наук", 1948, т. 3, в. 2(24); [2] Погорелов А. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969; [3] Бляшке В., Введение в дифференциальную геометрию, пер. с нем., М., 1957; [4] Векуа И. Н., Обобщенные аналитические функции, М., 1959.

М. И. Войцеховский.