БЕРНШТЕЙН А НЕРАВЕНСТВО

- 1) Б. н. в теории вероятностей -. уточнение классического Чебышева неравенства, принадлежащее С. Н. Бернштейну (1911, см. [1]); позволяет заменить степенную оценку вероятности больших отклонений на экспоненциально убывающую, см. Больших отклонений вероятности. Именно, если для независимых случайных величин с

выполняется

(, - постоянная, не зависящая от ), то для суммы справедливо Б. н. :

где Для одинаково распределенных ограниченных случайных величин и неравенство (1) приооретает наиболее простои вид:

где А. Н. Колмогоровым была получена нижняя оценка вероятности в (1). Оценки Бернштейна- Колмогорова используются, в частности, при доказательстве повторного логарифма закона. Нек-рое представление о точности (2) можно получить из сравнения с приближенным значением для левой части (2), даваемым Центральной предельной теоремой в виде

где . После 1967 одномерные Б. н. были распространены на многомерный и бесконечномерный случаи.

Лит.-[1] Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М.-Л., 1946; [2] Колмогоров А. Н., "Math. Ann.", 1929, Bd 101, S. 126-35; [3] Hoeffding W.; "J. Amer. Statist. Assoc.", 1963, v. 58, № 301, p. 13-30; [4] Прохоров Ю. В., "Теория вероят. и ее примен.", 1968, т. 13, в. 2, с. 266-74; [5] Прохоров А. В., "Матем. заметки", 1968, т. 3, в. 6, с. 731-9; [6] Юринский В. В., "Теория вероят. и ее примен.", 1970, т. 15, в. 1, с. 106-7. А. В. Прохоров.

2) В. н. для производной от тригонометрич. полинома или алгебраич. многочлена, дающее оценку этой производной через наибольшее значение самого полинома (многочлена). Если - тригонометрич. полином порядка не выше п,

то для любого хвыполняются неравенства (см. [1]):

Оценка неулучшаема; ибо число М= 1 для

.

и

Б. н. для тригонометрич. полиномов является частным случаем следующей теоремы [1]: если - целая функция степени и

то

Б. н. для алгебраич. многочленов имеет следующий смысл [1]: если многочлен

удовлетворяет условию

то для его производной выполняется соотношение

к-рое является неулучшаемым. Как заметил сам С. Н. Бернштейн (см. [1], с. 20), последнее неравенство в сущности вытекает из доказательства Маркова неравенства самим А. А. Марковым.

Б. н. существенно используются при получении обратных теорем теории приближения функций. Имеется ряд обобщений Б. н., в частности для целых функций многих переменных.

Лит.:[1] Бернштейн С. Н., Собр. соч., т. 1, М., 1952, с. 13-42, 269-70; [2] Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., 1969.

Н. П. Корнейчук, В. П. Моторный,