ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВО

риманово пространство М, у к-рого секционная кривизна K(s) по всем двумерным направлениям а постоянна: если К(s)=k, то говорят, что П. к. п. имеет кривизну k. Согласно теореме Шура, риманово пространство М ^п, n>2, есть П. к. п., если для любой точки секционная кривизна K(s) по направлению любых двумерных подпространств s касательного пространства Т _р М одна и та же. Тензор кривизны П. к. п. выражается через кривизну kи метрич. тензор g_ij по формуле

П. к. п. является локально симметрическим пространством.

С точностью до изометрии существует единственное полное односвязное n-мерное риманово пространство Sⁿ(k). постоянной кривизны k. При k=0 это евклидово пространство, при k>0 - сфера радиуса при k< 0 - Лобачевского пространство.
Пространства Sⁿ(k).являются максимально однородными пространствами, т. е. обладают группой движений максимально возможной размерности . Все отличные от Sⁿ(k). максимально однородные римановы пространства исчерпываются проективными (иначе, эллиптическими) пространствами, к-рые получаются из сфер отождествлением диаметрально противоположных точек.

Полные, но неодносвязные П. к. п. наз. пространственными формами. Они получаются из односвязного пространства Sⁿ(k).факторизацией по свободно действующей дискретной группе движений пространства Sⁿ(k). Известны все пространственные формы положительной кривизны. Проблема классификации пространственных форм нулевой и отрицательной кривизны до конца (1983) не решена.

П. к. п. выделяются среди всех римановых простанств одним из следующих характеристич. свойств: 1) П. к, п. удовлетворяют аксиоме плоскости, т. е. любое геодезическое в точке подмногообразие в П. к. п. является вполне геодезическим. 2) П. к. п. является локально проективно плоским пространством, т. е. допускает локально проективные отображения в евклидово пространство.

Понятие П. к. п. не обладает свойством корректности, т. е. пространство с мало меняющимися секционными кривизнами может сильно отличаться от П. к. п. Однако нек-рые общие свойства П. к. п., напр, топологич. строение, при этом сохраняются (теорема Адамара-Картана, теорема о сфере и др., см. Кривизна,[2]). Совершенно иначе обстоит дело для псевдоримановых П. к. <п.- любое нсевдориманово пространство знакоопределепной секционной кривизны, размерность к-рого больше двух, является П. к. п.

П. к. п. являются также локально конформно евклидовыми, т. е. допускают локальные конформные отображения в евклидово пространство.

Лит.:[1] Вольф Дж., Пространства постоянной кривизны, пер. с англ., М., 1982; [2] Бураго Ю. Д., 3алгаллер В. А., "Успехи матем. наук", 1977, т. 32, в. 3, с. 3-55. Д. Д. Соколов.