ПОЛУПРОСТАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА

ПОЛУПРОСТАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА

-связная линейная алгебраич. группа положительной размерности, содержащая лишь тривиальные разрешимые (или, что равносильно, абелевы) связные замкнутые нормальные подгруппы. Факторгруппа связной неразрешимой линейной алгебраич. группы по радикалу полупроста.

Связная линейная алгебраич. группа Gположительной размерности наз. простой, если она не содержит собственных связных замкнутых нормальных подгрупп. Центр Z(G).простой группы Gконечен, и G/Z(G).проста как абстрактная группа. Алгебраич. группа Gполупроста тогда и только тогда, когда Gразлагается в произведение простых связных замкнутых нормальных подгрупп.

В случае, когда основное поле есть поле С комплексных чисел, П. а. г.- это не что иное как полупростая группа Ли над С. Оказывается, что классификация П. а. г. над произвольным алгебраически замкнутым полем Каналогична случаю К=С, т. е. что П. а. г. определяется с точностью до изоморфизма своей корневой системой и нек-рой подрешеткой в решетке весов, содержащей все корни. Точнее, пусть Т - максимальный тор в П. а. г. G, Х (Т) - группа характеров тора Т, рассматриваемая как решетка в пространстве . Для любого рационального линейного представления r группы Gгруппа r(Т). является диагонализируемой. Ее собственные значения, являющиеся элементами группы X(Т), наз.. весами представления r. Ненулевые веса присоединенного представления Ad наз. корнями группы G. Оказывается, что система всех корней группы Gявляется приведенной корневой системой в пространстве Е, причем неприводимые компоненты системы S - это системы корней простых замкнутых нормальных подгрупп группы G. Далее, , где Q(S) - решетка радикальных весов, а для всех } - решетка весов корневой системы S. В случае К= С пространство Еестественно отождествляется с вещественным подпространством , где t - алгебра Ли тора Т, натянутом на дифференциалы всех характеров, а решетки в t, двойственные к , совпадают (с точностью до множителя 2pi). с (см. Ли полупростая группа).

Основная теорема классификации утверждает, что если G'- другая П. а. г., Т' - ее максимальный тор, - система корней группы G' и если существует линейное отображение , определяющее изоморфизм корневых систем S и S' и отображающее X(Т).на Х( Т'), то . Кроме того, для любой приведенной корневой системы S и любой решетки L, удовлетворяющей условию , существует такая П. а. г. G, что S есть система ее корней относительно максимального тора Ти L=X(T).

Классифицированы также все изогении (в частности, все автоморфизмы) П. а. г.

Лит.:[1] Стейнберг Р. Г., Лекции о группах Шевал-ле, пер. с англ., М., 1975; [2] Xамфри Д ж., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980. А. Л. Онищик.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "ПОЛУПРОСТАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА" в других словарях:

  • ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА — алгебраическая группа, бирационально изоморфная алгебраич. подгруппе полной линейной группы. Алгебраич. группа Gлинейна тогда и только тогда, когда алге браич. многообразие Gаффинно, т. е. изоморфно замкнутому (в топологии Зариского)… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ ГРУППА — группа G, обладающая такой структурой аналитического многообразия, что отображение прямого произведения в Gана литично. Другими словами, Ли г. это множество, наделенное согласованными структурами группы и аналитич. многообразия. Ли г. наз.… …   Математическая энциклопедия

  • КОМПАКТНАЯ ГРУППА — топологическая группа, компактная как топологич. пространство. Напр., всякая конечная группа (в дискретной топологии) является К. г. Алгебраическая группа, хотя она и является компактным топологич. пространством (относительно топологии Зариского) …   Математическая энциклопедия

  • Редуктивная группа — Редуктивная группа  алгебраическая группа для которой унипотентный радикал её компоненты единицы является тривиальным. Примеры Любая полупростая группа Ли …   Википедия

  • ЛИ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА — 1) Алгебра Ли алгебраич. подгруппы (см. Алгебраическая группа).полной линейной группы, всех автоморфизмов конечномерного векторного пространства Vнад полем k. Если произвольная подалгебра в алгебре Ли всех эндоморфизмов V, то существует… …   Математическая энциклопедия

  • РАДИКАЛ — группы G наибольшая нормальная подгруппа группы G, принадлежащая данному радикальному классу групп. Класс групп наз. радикальным, если он замкнут относительно гомоморфных образов, а также относительно бесконечных расширений , т. е. если классу… …   Математическая энциклопедия

  • КНЕЗЕРА - ТИТСА ГИПОТЕЗА — гипотеза о строении ^ простых односвязных изотропных над полем калгебраич. групп. А именно, К. Т. г. состоит в том, что группа Gk k рациональных точек k простой односвязной и изотропной над калгебраич. группы Gпорождается унипотентными элементами …   Математическая энциклопедия

  • ТАМАГАВЫ ЧИСЛО — объем однородного пространства ассоциированного с группой аделей связной линейной алгебраич. группы G, определенной над глобальным полем К, относительно Тамагавы меры. Здесь подгруппа в GA,состоящая из таких аделей что для любого К определенного… …   Математическая энциклопедия

  • Алгебра Хопфа — Алгебра Хопфа  алгебра, являющаяся унитарной ассоциативной коалгеброй и, таким образом, биалгеброй c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Х. Хопфа. Алгебры Хопфа встречаются в алгебраической топологии, где они возникли в… …   Википедия

  • АЛГЕБРА — часть математики, посвященная изучению алгебраических операций. Исторический очерк. Простейшие алгебраич. операции арифметич. действия над натуральными и положительными рациональными числами встречаются в самых ранних математич. текстах,… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»