ПЛОСКАЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРИВАЯ

- множество точек Lдействительной аффинной плоскости, координаты к-рых удовлетворяют уравнению f(x,y)=0, (1) где f(x, у) - многочлен степени пот координат х, у;число пназ. порядком кривой L. Если многочлен f приводим, т. е. разлагается на множители f₁, . .. ., f_k, то определяемая уравнением (1) кривая Lназ. приводимой и является объединением кривых L₁...,L_k (компонент L), задаваемых соответственно уравнениями f₁ =0, .. ., f_n = 0.

Если же многочлен f неприводим, то кривая Lназ. неприводимой. Две неприводимые П. д. а. к., одна из к-рых имеет порядок n, а другая - порядок т, пересекаются не более чем в тп точках (теорема Безу).

Одна и та же П. д. а. к. Lможет определяться различными уравнениями. Пусть I_L- совокупность многочленов, обращающихся в нуль во всех точках кривой L. Если Lнеприводима, то из того, что fg=0 на L, следует равенство нулю f или g;в этом случае фактор-кольцо K(L)=K/I_L (здесь К - кольцо всех многочленов) не имеет делителей нуля и наз. кольцом многочленов на L.

С неприводимой П. д. а. к. Lассоциируется также нек-рое ноле К(L), наз. полем рациональных функций на L. Оно состоит из рациональных функций , причем qне делится на f, рассматриваемых с точностью до равенства на L и наз. равными на кривой L, заданной уравнением (1), если многочлен делится на f). Поле K(L).является полем частных кольца K(L).

Отображение плоскости в себя наз. регулярным на П. д. а. к. L, если . Кривые L к М наз. изоморфными, если существуют регулярные (соответственно на Lи на М).отображения и , обратные друг другу; при этом кольца K(L).и K(M).изоморфны. В частности, изоморфны аффинно эквивалентные кривые.

Более общим является рациональное отображение кривой Lв кривую М, осуществляемое рациональными функциями. Оно устанавливает соответствие между всеми точками кривых, кроме конечного их числа, и определяется так. Пусть f=0 и g=0 - уравнения кривых Lи М соответственно, тогда рациональное отображение Fзадается такой парой рациональных функций j и y), определенных на L, что g(j, y)=0 на М. Кривые L и М наз. бирационально эквивалентными, если существуют рациональные отображения Lв Ми Мв L, обратные друг другу; при этом поля k(L).и k(M).оказываются изоморфными. Такие рациональные отображения наз. бирациональными, или кремоновыми, преобразованиями. Все кремоновы преобразования на плоскости могут быть осуществлены последовательным проведением преобразований вида

Бирациональная эквивалентность - более грубое отношение, чем изоморфизм, однако классификация П. д. а. к. с этой точки зрения оказывается проще и обозримее.

Простейшим примером рационального отображения является проективное преобразование. Важную роль играет дуальное отображение неприводимой кривой L, отличной от прямой, в кривую L*, дуальную L, определяемое формулами:

(2)

где f - многочлен, определяющий L. Уравнение g( и, v)=0, определяющее кривую L*, получается исключением х, у из уравнений (1), (2). Вследствие связи дуального отображения с касательным преобразованием саму кривую L* в ряде случаев можно представлять как огибающую семейства прямых, касательных к L.

Порядок L* наз. классом n* кривой L. Отношение дуальности взаимно, т. е. L** = L, и является отражением двойственности принципа проективной геометрии.

Точка хП. д. а. к. L, заданной уравнением (1), наз. особой точкой, если в ней grad f=0. Анализ особенностей является необходимым элементом исследования кривой L, однако полная классификация особенностей еще далека от завершения (1983).

Если все производные многочлена f до (r-1)-го порядка включительно в точке хравны нулю, а хотя бы одна производная r-го порядка отлична от нуля в х, то хназ. точкой кратности r и притом обыкновенной, если в ней существуют rразличных касательных. Примеры особых точек:

1) х ³ -х ²+у ²=0;(0, 0) - обыкновенная двойная точка, точка самопересечения;

2) x²+x³+y²=0; (0, 0) - изолированная точка;

3) x³+y²=0; (0, 0) - точка заострения, возврата;

4) 2x⁴ -Зх ² у+у ²-2y³+y⁴=0; (0, 0) - точка самоприкосновения.

Неособая точка хП. д. а. к. L, заданной уравнением (1), наз. точкой перегиба, если в ней

(3)

Другими словами, точки перегиба - это точки пересечения кривой Lи кривой Н, задаваемой уравнением (3) и называемой гессианой кривой L. Точкам перегиба кривой Lсоответствуют на дуальной кривой L* точки возврата.

Для всякой П. д. а. к. имеет место соотношение (Ф. Клейн, F. Klein, 1876):

где п - порядок L, п* - класс L, r* - число точек перегиба L, d* - число изолированных двойных касательных к L(двойных точек L*), r- число точек возврата L(точек перегиба L*), d - число двойных точек L. См. также Плюккера формулы.

Любая неприводимая плоская кривая Lбирационально эквивалентна неприводимой кривой L₀, имеющей лишь обыкновенные особенности.

Род (или жанр) П. д. а. к. Lопределяется числом р, являющимся разностью между наибольшим числом двойных точек, к-рые может иметь L, и их фактич. числом. Род ри порядок пкривой Lсвязаны соотношением

где суммирование распространяется на точки кратности r_i.

Кривые нулевого рода (наз. также рациональными, уникурсальными) обладают важным свойством, а именно: координаты точки, движущейся по такой кривой, могут быть выражены рациональными функциями x, h) нек-рого параметра t. Другими словами, кривые рода нуль бирационально эквивалентны прямой. Уникурсальные кривые имеют важные применения.

Классификация Ньютона кривых 3-го порядка

Пусть, напр., уравнение такой кривой определяет укак алгебраич. функцию от х;тогда для любой рациональной функции g(x, у).неопределенный интеграл

может быть выражен через элементарные функции.

Кривые рода 1, тесно связанные с эллиптическими функциями, бирационально эквивалентны кривой 3-го порядка без особенностей. Нек-рые кривые рода р>1 (т. н. гиперэллиптические) бирационально эквивалентны кривой порядка р+2, имеющей единственную особую точку кратности р.

Род рявляется бирациональным инвариантом, однако две кривые, имеющие один и тот же род, не обязательно бирационально эквивалентны.

Полная классификация кривых порядка еще (1983) не получена. Неприводимая кривая 2-го порядка является либо пустым множеством, либо эллипсом, либо гиперболой, либо параболой (см. Линия второго порядка). Эти кривые неособенны и уникурсальны.

Первая классификация кривых 3-го порядка была предложена И. Ньютоном (I. Newton, 1704), к-рый положил тем самым начало систематич. исследованию П. д. а. к. В основе ее лежит подразделение кривых 3-го порядка на классы в зависимости от количества и характера бесконечных ветвей. Уравнение кривой надлежащим выбором координатной системы приводится к одной из четырех канонич. форм А, В, С, D, которые затем разделяются на классы, подклассы и типы (см. схему).

У каждой кривой 3-го порядка Lесть либо (единственная) двойная точка, и тогда Lуникурсальна, либо точка перегиба, быть может находящаяся на бесконечности; если есть три точки перегиба, то они лежат на одной прямой; более трех точек перегиба быть не может.

Пополнение аффинной плоскости несобственными элементами приводит к проективной плоскости, на к-рой П. д. а. к. определяется уравнением

где F - однородный многочлен степени пот проективных координат х ¹, x², х ³. Проективная классификация кривых проще; напр., каждая кривая 3-го порядка может быть рассматриваема как сечение конуса, направляющей к-рого служит одна из пяти т. н. дивергентных парабол, т. е. имеется пять типов проективно неэквивалентных кубич. кривых (теорема Ньютона).

При исследовании П. д. а. к. полезным оказывается также и привлечение мнимых элементов, и, далее, переход в комплексную область. См. Алгебраическая кривая.

Лит.:[1] Уокер Р., Алгебраические кривые, пер. с англ., М., 1952; [2] Смогоржевский А. С., Столова Б. С., Справочник по теории плоских кривых третьего порядка, М., 1961; [3] Савелов А. А., Плоские кривые, М:, 1960.

М. И. Войцеховский.