ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ

- однородное дифференциальное уравнение с частными производными вида

где - функция от пдействительных переменных. Левая часть Л. у. наз. Лапласа оператором от функции и. Регулярные решения Л. у. класса С ² в нек-рой области Dевклидова пространства т. е. решения, имеющие непрерывные частные производные до 2-го порядка в D, наз. гармоническими функциями в D. Л. у. является основным представителем дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка эллиптич. типа, на к-ром вырабатывались и вырабатываются основные методы решения краевых задач для эллиптических уравнений.

Пусть v - потенциальное векторное поле в D, т. е. v=-grad и, где м=и(х ₁, х ₂, ..., хД) - потенциал. Так как

то физич. смысл Л. у. состоит в том, что оно выполняется для потенциала любого такого поля в областях D, свободных от источников поля. Напр., Л. у. удовлетворяет гравитационный потенциал сил тяготения в областях, свободных от притягивающих масс, потенциал электростатич. поля в областях, свободных от зарядов, и т. д. Таким образом, Л. у. выражает закон сохранения для потенциального поля. С этой точки зрения форма (1) Л. у. получается при выборе декартовой прямоугольной системы координат; в других системах координат оператор Лапласа и Л. <у. принимают другой вид. При наличии источников поля в правой части ().появляется функция, пропорциональная плотности источников, и Л. у. переходит в Пуассона уравнение. Л. у. возникает и во многих других вопросах математич. физики, в к-рых рассматриваются стационарные поля, напр, при изучении стационарного распределения температур, статических задач теории упругости и др.

Основными для Л. у. являются следующие краевые задачи теории потенциала: 1) Дирихле задача, или первая краевая задача, когда ищется гармонич. функция, принимающая на границе области дD заданные непрерывные значения; 2) Неймана задача, или вторая краевая задача, когда ищется гармонич. функция итакая, что ее нормальная производная дu/дп принимает на дD заданные непрерывные значения; 3) смешанная задача, когда ищется гармонич. функция и, удовлетворяющая на границе линейному соотношению

В случае n=2 Л. у. тесно связано с теорией аналитич. функций комплексного переменного z=x₁+ix₂, характеризующихся тем, что их действительная и мнимая части являются сопряженными гармонич. функциями.

Л. у. встречается у Л. Эйлера и Ж. Д'Аламбера (см. [1], [2]) в связи с задачами гидромеханики и первоначальным рассмотрением функций комплексного переменного. Однако широкую известность оно получило после появления работ П. Лапласа (см. [3], [4]) по теории гравитационного потенциала и небесной механике.

Уравнение (1) иногда наз. скалярным Л. у. в отличие от в е к т о р н о г о Л. у.

В случае, напр., векторного поля заданного в прямоугольной декартовой системе координат пространства векторное Л. у. (2) равносильно трем скалярным Л. у. для каждой из компонент В других системах координат векторное Л. у. равносильно системе трех уравнений с частными производными 2-го порядка относительно компонент векторного поля v, получающейся из (2) после выполнения указанных там операций векторного анализа в соответствующих координатах (см. [7]).

Лит.:[1] Е u l е r L., "Novi Commentarii Acad. Sci. Petropolitanae", 1761, t. 6; [2] D'A 1 e m b e r t J. le R о n d, Opuscules mathematiques, t. 1, P., 1761; [3] L a p 1 а с e P. S., "Mem. Acad. Paris (1782)", 1785; [4] e г о же, TraitcS lie mecanique celeste, t. 2, P., 1799; [5] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; [6] М а р к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; [7] Морс Ф. М., Ф е ш б а х Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 2, М., 1960. Е. Д. Соломенцев.