ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ

ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ

- однородное дифференциальное уравнение с частными производными вида

где - функция от пдействительных переменных. Левая часть Л. у. наз. Лапласа оператором от функции и. Регулярные решения Л. у. класса С 2 в нек-рой области Dевклидова пространства т. е. решения, имеющие непрерывные частные производные до 2-го порядка в D, наз. гармоническими функциями в D. Л. у. является основным представителем дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка эллиптич. типа, на к-ром вырабатывались и вырабатываются основные методы решения краевых задач для эллиптических уравнений.

Пусть v - потенциальное векторное поле в D, т. е. v=-grad и, где м=и(х 1, х 2, ..., хД) - потенциал. Так как

то физич. смысл Л. у. состоит в том, что оно выполняется для потенциала любого такого поля в областях D, свободных от источников поля. Напр., Л. у. удовлетворяет гравитационный потенциал сил тяготения в областях, свободных от притягивающих масс, потенциал электростатич. поля в областях, свободных от зарядов, и т. д. Таким образом, Л. у. выражает закон сохранения для потенциального поля. С этой точки зрения форма (1) Л. у. получается при выборе декартовой прямоугольной системы координат; в других системах координат оператор Лапласа и Л. <у. принимают другой вид. При наличии источников поля в правой части ().появляется функция, пропорциональная плотности источников, и Л. у. переходит в Пуассона уравнение. Л. у. возникает и во многих других вопросах математич. физики, в к-рых рассматриваются стационарные поля, напр, при изучении стационарного распределения температур, статических задач теории упругости и др.

Основными для Л. у. являются следующие краевые задачи теории потенциала: 1) Дирихле задача, или первая краевая задача, когда ищется гармонич. функция, принимающая на границе области дD заданные непрерывные значения; 2) Неймана задача, или вторая краевая задача, когда ищется гармонич. функция итакая, что ее нормальная производная дu/дп принимает на дD заданные непрерывные значения; 3) смешанная задача, когда ищется гармонич. функция и, удовлетворяющая на границе линейному соотношению

В случае n=2 Л. у. тесно связано с теорией аналитич. функций комплексного переменного z=x1+ix2, характеризующихся тем, что их действительная и мнимая части являются сопряженными гармонич. функциями.

Л. у. встречается у Л. Эйлера и Ж. Д'Аламбера (см. [1], [2]) в связи с задачами гидромеханики и первоначальным рассмотрением функций комплексного переменного. Однако широкую известность оно получило после появления работ П. Лапласа (см. [3], [4]) по теории гравитационного потенциала и небесной механике.

Уравнение (1) иногда наз. скалярным Л. у. в отличие от в е к т о р н о г о Л. у.

В случае, напр., векторного поля заданного в прямоугольной декартовой системе координат пространства векторное Л. у. (2) равносильно трем скалярным Л. у. для каждой из компонент В других системах координат векторное Л. у. равносильно системе трех уравнений с частными производными 2-го порядка относительно компонент векторного поля v, получающейся из (2) после выполнения указанных там операций векторного анализа в соответствующих координатах (см. [7]).

Лит.:[1] Е u l е r L., "Novi Commentarii Acad. Sci. Petropolitanae", 1761, t. 6; [2] D'A 1 e m b e r t J. le R о n d, Opuscules mathematiques, t. 1, P., 1761; [3] L a p 1 а с e P. S., "Mem. Acad. Paris (1782)", 1785; [4] e г о же, TraitcS lie mecanique celeste, t. 2, P., 1799; [5] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; [6] М а р к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; [7] Морс Ф. М., Ф е ш б а х Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 2, М., 1960. Е. Д. Соломенцев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ" в других словарях:

  • Лапласа уравнение — Уравнение Лапласа  уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так: и является частным случаем уравнения Гельмгольца. Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном… …   Википедия

  • ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ — дифференциальное ур ние с частными производными где u(х, у, z) ф ция независимых переменных х, у, z. Названо по имени франц. учёного П. Лапласа, применившего его в работах по тяготению (1782). К Л. у. приводят мн. задачи физики и механики, в к… …   Физическая энциклопедия

  • ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ — дифференциальное уравнение с частными производными 2 го порядкагде, x, y, z независимые переменные, ?(x, y, z) искомая функция. Рассмотрено П. Лапласом (1782). К уравнению Лапласа приводят многие задачи математической физики (напр., распределение …   Большой Энциклопедический словарь

  • Лапласа уравнение — дифференциальное уравнение с частными производными 2 го порядка . Где х, у, z  независимые переменные, φ(х, у, z)  искомая функция. Рассмотрено П. Лапласом (1782). К Лапласа уравнению приводят многие задачи математической физики (например,… …   Энциклопедический словарь

  • Лапласа уравнение —         дифференциальное уравнение с частными производными                   где х, у, z независимые переменные, а u = u(x, y, z) искомая функция. Это уравнение названо по имени П. Лапласа, рассмотревшего его в работах по теории тяготения (1782) …   Большая советская энциклопедия

  • ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ — численные методы решения методы, заменяющие исходную краевую задачу дискретной задачей, содержащей конечное число N неизвестных, нахождение к рых с соответствующей точностью позволяет определить решение исходной задачи с заданной точностью… …   Математическая энциклопедия

  • ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ — дифференц. ур ние с частными производными 2 го порядка где х, у, г независимые переменные, и (х, у, г) искомая ф ция. К Л. у. приводит ряд задач физики и техники; ему удовлетворяют, напр., установившаяся темп pa, электрич. потенциал внутри… …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ — дифференц. ур ние с частными производными 2 го порядка где х, у, z независимые переменные, ф(х, у, z) искомая функция. Рассмотрено П. Лапласом в 1782. К Л. у. приводят мн. задачи матем. физики (напр., распределение темп р в стационарном процессе) …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Уравнение Лапласа — Уравнение Лапласа  дифференциальное уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так: и является частным случаем уравнения Гельмгольца. Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном… …   Википедия

  • Уравнение в частных производных — Дифференциальное уравнение в частных производных (общеупотребительно сокращение (Д)УЧП, также известны как уравнения математической физики, УМФ)  дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»