ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

поток,- действие аддитивной группы действительных чисел на многообразии М. Таким образом, однопараметрическое семейство преобразований многообразия Мявляется О. г. п., если выполнены следующие условия:

Если многообразие Мгладкое, то обычно предполагается, что О. г. п. тоже гладкая, т. е. соответствующее отображение

является дифференцируемым отображением дифференцируемых многообразий.

Более общим, чем понятие О. г. п., является понятие локальной однопара метрической группы преобразований многообразия М. Оно определяется как отображение нек-рого

открытого подмногообразия вида где для , удовлетворяющее условиям (*) при всех , для к-рых обе части равенств определены.

С каждой гладкой локальной О. г. п. многообразия Мсвязывается векторное поле

наз. полем скоростей, или инфинитезимальной образующей, О. г. п.. Обратно, любое гладкое векторное поле Xпорождает локальную О. г. п. j_t, имеющую полем скоростей поле X. В локальных координатах х ⁱ на Мэта О. г. п. задается как решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений

с начальными условиями где Если локальная О. г. п., порождаемая векторным полем X, продолжается до глобальной О. г. п., то поле Xназ. полным. На компактном многообразии любое векторное поле является полным, и, таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между О. г. п. и векторными полями. На некомпактном многообразии это уже не так, причем множество полных векторных полей даже не замкнуто относительно сложения.

Лит.:[1] Арнольд В. И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М., 1971; [2] Раlais R., A global formulation of the Lie theory of transformation groups, Providence, 1957.

Д. В. Алексеевский.