- ОБЪЕМНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
- выражение вида
где D- конечная область евклидова пространства
ограниченная замкнутой поверхностью (при N - 2- кривой) Ляпунова
- фундаментальное решение оператора Лапласа,
- площадь единичной сферы в
- расстояние между точками хи у,
- элемент объема D.
Если
то О. п. определен для всех
. При этом в дополнительной области CD функция и(х)имеет производные всех порядков и удовлетворяет Лапласа уравнению
т. е. является гармонической функцией;при
. эта функция регулярна на бесконечности,
В области DО. п. и(х). принадлежит классу
и удовлетворяет Пуассона уравнению
.
Эти свойства обобщаются в различных направлениях. Напр., если
в Dсуществуют обобщенные производные 2-го порядка от и(х)и почти всюду в Dудовлетворяется уравнение Пуассона
Изучены также свойства О. п. произвольной меры
Радона, сосредоточенной на N-мерной области D:
Здесь также
почти всюду в D. где
- производная меры m по мере Лебега в
. В определении (*) фундаментальное решение оператора Лапласа можно заменить на произвольную функцию Леви для общего эллиптич. оператора 2-го порядка Lс переменными коэффициентами класса
; при этом перечисленные выше свойства остаются в силе с заменой
(см. [2]-[4]).
О. п. применяется при решении краевых задач для эллиптич. уравнений с частными производными (см. При решении краевых задач для параболич. уравнений используется также понятие объемного теплового потенциала вида
где
- фундаментальное решение уравнения теплопроводности в
:
- плотность. Функция
и ее обобщения на случай произвольного параболич. уравнения 2-го порядка имеют свойства, близкие к указанным выше для и(x)(см. [3] - [6]).
Лит.:[1] Гюнтер Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, М., 1953; [2] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [3] Тихонов А. Н., Самарский Л. А., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977; [4] Смирнов В. И.. Курс высшей математики, 5 изд., т. 4, М., 1958; [5] Фридман А., Уравнения с частными производными параболического типа, пер. с англ., М., 1968; [6] Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 196В.
Е. Д. Соломецев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.