ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ

системы обыкновенных дифференциальных уравнений п- гопорядка

в области G- гладкое по t и непрерывное по совокупности параметров n-параметрическое семейство вектор-функций

откуда при соответствующем выборе значений параметров получается любое решение системы, график к-рого проходит в области ; здесь область, где выполнены условия теоремы существования и единственности для системы (1). (Иногда условливаются, что параметры могут принимать и значения .) Геометрически О. р. системы (1) в области Gпредставляет собой семейство непересекающихся интегральных кривых этой системы, полностью заметающих всю область.

О. р. системы (1) в области Gпозволяет найти решение задачи Коши для этой системы с начальным условием нужно из системы правенств определить значения ппараметров С 1 ,. . ., С n и подставить эти значения в (2). Если - решение системы (1), удовлетворяющее условию то n-параметрическое семейство где - фиксированное число, а рассматриваются как параметры, является О. р. системы (1) в нек-рой области и наз. О. р. в форме Коши. Знание О. р. позволяет однозначно восстановить систему дифференциальных уравнений: для этого надо из псоотношений (2) и из псоотношений, получающихся дифференцированием соотношений (2) по t, исключить ппараметров

В случае обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка

О. р. в области Gимеет вид n-параметрического семейства функций

из к-рого при соответствующем выборе значений параметров получается решение уравнения (3) с любыми начальными условиями

здесь - область, где выполнены условия теоремы существования и единственности для уравнения (3).

Функция, получающаяся из О. р. при конкретных значениях параметров, наз. частным решением. Семейство функций, содержащее все решения данной системы (уравнения) в нек-рой области, не всегда удается выразить в виде явной функции независимой переменной. Это семейство может оказаться записанным в виде неявной функции - и тогда оно наз. общим интегралом- или в параметрич. виде.

Если конкретное обыкновенное дифференциальное уравнение (3) допускает интегрирование в замкнутой форме (см. Интегрирование дифференциальных уравне ний в замкнутой форме), то часто удается получить соотношение типа (4), где параметры возникают как постоянные интегрирования и оказываются произвольными постоянными. (Именно поэтому часто говорят, что О. р. уравнения n-го порядка содержит га произвольных постоянных.) Однако такое соотношение далеко не всегда является О. р. во всей области существования и единственности решения задачи Коши для исходного уравнения.

Лит.:[1] Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1950; [2] Вругин Н. П., Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений, 3 изд., Минск, 1971).

Н. X. Розов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ" в других словарях:

  • Общее решение — дифференциального уравнения функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида обращает его в тождество. Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде: где конкретные числа, то функция… …   Википедия

  • общее решение — решение в общем виде — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы решение в общем виде EN general solution …   Справочник технического переводчика

  • ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ — дифференциального уравнения семейство функций, зависящих от произвольных постоянных, такое, что при соответствующем выборе этих постоянных может быть получено любое частное решение уравнения. Напр., для уравнения dу=2xdx общим решением является y …   Большой Энциклопедический словарь

  • Общее решение —         обыкновенного дифференциального уравнения          у (n) = f (х, у, у ,..., у (n 1)) семейство функций у= φ(x, C1,..., Сп),          непрерывно зависящих от n произвольных постоянных C1,..., Cn, такое, что при соответствующем выборе этих… …   Большая советская энциклопедия

  • общее решение — дифференциального уравнения, семейство функций, зависящих от произвольных постоянных, такое, что при соответствующем выборе этих постоянных может быть получено любое частное решение уравнения. Например, для уравнения dy = 2xdx общим решением… …   Энциклопедический словарь

  • общее решение — bendrasis sprendinys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. general solution vok. allgemeine Lösung, f rus. общее решение, n pranc. solution générale, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида обращает его в тождество. Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде: где конкретные числа, то функция вида …   Википедия

  • ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ — дифференциального уравнения, семейство функций, зависящих от произвольных постоянных, такое, что при соотв. выборе этих постоянных может быть получено любое частное решение ур ния. Напр., для ур ния dy = 2xdx О. р. является у = х2 + С, где С… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • принимавший общее решение — прил., кол во синонимов: 2 • приходивший к взаимному соглашению (4) • уряжавший (9) Словарь синонимов ASIS …   Словарь синонимов

  • принявший общее решение — прил., кол во синонимов: 2 • пришедший к соглашению (21) • урядивший (14) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 …   Словарь синонимов


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»