ОБРАТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

ОБРАТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

(обратный оператор) к однозначному отображению (оператору)- однозначное отображение gтакое, что

где - нек-рые множества.

Если gудовлетворяет лишь условию (1), то оно наз. правым обратным отображением к f, если лишь (2) - левым обратным отображением к f. О. о.существует тогда и только тогда, когда для любого ,полный прообраз состоит из единственного элемента . Если отображение f имеет обратное отображение f-1, то уравнение

однозначно разрешимо при любом . Если существует только правое О. о., то существует и решение уравнения (3), но вопрос об однозначности решения остается открытым. Наличие же лишь левого О. о. обеспечивает единственность решения в предположении, что оно существует. Если Xи Y - векторные пространства, и A - линейный оператор из Xв Y, то А -1, если он существует, тоже линеен. Вообще, в случае наделения Xи Y той или иной структурой, случается, что нек-рые свойства оператора Асохраняются и при переходе к в предположении, что он существует. Так, если Xи Y - банаховы пространства и - замкнутый оператор, то также замкнут; если Н- гильбертово пространство и самосопряжен, то также самосопряженный оператор; если - нечетная функция, то - также нечетная, и т. д. Непрерывность Ане всегда сохраняется при переходе к для многих важных классов линейных операторов, напр, вполне непрерывных. Важными признаками непрерывности операторов, обратных к линейным, являются следующие.

Пусть X- конечномерное векторное пространство с пек-рым базисом и задается в этом базисе, матрицей . Для существования необходимо и достаточно, чтобы (операторы Аи А -1 в этом случае автоматически непрерывны).

Пусть Xи Y - банаховы пространства и A - линейный непрерывный оператор из Xв Y.

1) Если существует и непрерывен.

2) Если существует и непрерывен, причем

где ряд справа сходится по норме в пространстве

3) Оператор существует и непрерывен на всем Y тогда и только тогда, когда его сопряженный имеет обратный, определенный и непрерывный на всем При этом .

4)Если оператор существует и непрерывен и , то оператор также существует и непрерывен, причем

Таким образом, множество обратимых операторов открыто в в равномерной топологии этого пространства.

5) Теорема Банаха об изоморфизме: если Авзаимно однозначно отображает Xна Y, то О. о., к-рое существует, непрерывно. Эта теорема допускает обобщение: взаимно однозначное линейное непрерывное отображение совершенно полного пространства Xна отделимое бочечное пространство Y является топологич. изоморфизмом.

Ряд утверждений о существовании и непрерывности оператора, обратного к линейному непрерывному, содержится в спектральной теории линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Так, если Асамосопряжен и не действительно, то существует и непрерывен.

Лит.:[1] Данфорд Н., Шварц Д ж., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; [2] Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977; [3] Рудин У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975; [4] Робертсон А.-П., Робертсон В.-Дж., Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1967.

В. И. Соболев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "ОБРАТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ" в других словарях:

  • обратное отображение — — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] Тематики защита информации EN inverse mapping …   Справочник технического переводчика

  • Обратное отображение — Обратная функция функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Содержание 1 Определение 2 Связанные определения 3 Существование 4 …   Википедия

  • Отображение на — Сюръективная функция. Отображение называется сюръективным (или сюръекцией, или отображением на Y), если каждый элемент множества Y является образом хотя бы одного элемента множества X, то есть …   Википедия

  • отображение — Логическая связь набора значений (например, сетевых адресов в одной сети) с объектами другого набора (например, адресами в другой сети). [http://www.lexikon.ru/dict/net/index.html] отображение С самой общей точки зрения это правило, по которому… …   Справочник технического переводчика

  • Отображение — [mapping, transforma­tion] с самой общей точки зрения это правило, по которому элементам одного множества ставятся в соответствие элементы другого множества. Поэтому иногда говорят, что отображение это кортеж, состоящий из трех элементов:… …   Экономико-математический словарь

  • Отображение — [mapping, transforma­tion] с самой общей точки зрения это правило, по которому элементам одного множества ставятся в соответствие элементы другого множества. Поэтому иногда говорят, что отображение это кортеж, состоящий из трех элементов:… …   Экономико-математический словарь

  • Отображение — (матем.)         множества А в множество В, соответствие, в силу которого каждому элементу х множества А соответствует определённый элемент у = f (x) множества В, называют образом элемента х (элемент х называют прообразом элемента у). Иногда под… …   Большая советская энциклопедия

  • ЗАМКНУТОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — отображение одного топологич. пространства на другое, при к ром образ всякого замкнутого множества есть замкнутое множество. Класс непрерывных 3. о. играет важную роль в общей топологии и ее приложениях. Непрерывные замкнутые бикомпактные… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛИЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — n линейное отображение, полилинейный оператор, отображение f прямого произведения унитарных модулей Ei над ассоциативно коммутативным кольцом Ас единицей в нек рый A модуль F, линейное по каждому аргументу, т. е. удовлетворяющее условию В случае… …   Математическая энциклопедия

  • КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — непрерывное отображение, сохраняющее форму бесконечно малых фигур. Основные понятия. Непрерывное отображение w=f(z)области G n мерного евклидова пространства в n мерное евклидово пространство наз. конформным в точке если оно в этой точке обладает …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»