- ПОЛИЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
n-линейное отображение, полилинейный оператор,- отображение f прямого произведения
унитарных модулей Ei над ассоциативно-коммутативным кольцом Ас единицей в нек-рый A-модуль F, линейное по каждому аргументу, т. е. удовлетворяющее условию
В случае п=2( п = 3).говорят о билинейном отображении (соответственно трилинейном). Каждое П. о.
определяет единственное линейное отображение
тензорного произведения 
в Fтакое, что
причем соответствие
есть биекция множества П. о. 
на множество всех линейных отображений 
П. о. 
естественным образом
образуют A-модуль.
В А-модуле Ln(E, F).всех n-линейных отображений
действует симметрич. группа Sn:
где
. П. о. f наз. симметрическим, если sf=f для всех 
, и кососимметрическим, если sf=e(s)f, где e(s)=+1 в зависимости от четности подстановки в. П. о. наз. знакопеременным (или альтернированным), если f(x1, . . ., х п)=0, как только xi=xj для нек-рых 
. Всякое знакопеременное П. о. кососимметрично, а если в Fравнение 2у=0 имеет единственное решение у=0, то верно и обратное. Симметрические П. о. образуют подмодуль в Ln(E, F), естественно изоморфный модулю линейных отображений L(SnE, F), где SnE есть n-я симметрич. степень Е(см. Симметрическая алгебра), знакопеременные П. о.- подмодуль, естественно изоморфный L(LnE, F), где Ln Е есть га-я внешняя степень модуля Е(см. Внешняя алгебра). П. о. вида наз. симметризованными, а П.
о. вида snf=
- кососимметризованными. Симметризованные (кососимметризованные) П. о. симметричны (соответственно знакопеременны), а если в Fуравнение n!y=c имеет для каждого 
единственное решение, то верно и обратное. Для того чтобы всякое знакопеременное П. о. было кососимметризованным, достаточно также, чтобы модуль Ебыл свободным.
Лит. см. при ст. Полилинейная форма. А. Л. Онищик.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
