Потенциальная функция и потенциал

В статьях Гамильтоново начало (см.), Механика (см.) и в некоторых других упоминалось о силах, имеющих потенциал или потенциальную функцию. Под силой, приложенной к материальной точке и имеющей потенциальную или силовую функцию, подразумевается такая сила, проекции которой X, У, Z на оси координат выражаются производными от некоторой функции U (от координит x, у, z точки) по соответственным координатам, т. е.

X = dU/(dx), Y = (dU)/(dy), Z = (dU)/(dz).

Такая функция U называется П. функцией этой силы. Сколько известно, первым, указавшим на существование такой функции, и именно у сил тяготения, был Лаплас ("Mécanique célesie"), a самый термин П. функция встречается в сочинении Грина (см.): "An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism", напечатанном в 1828-м г.; но нельзя поручиться за то, что Грин первый ввел это название. Если система материальных точек подвержена только таким силам, проекции которых на оси координат суть производные по соответственным координатам от некоторой функции U от координат точек системы, то эту функцию U называют потенциалом сил этой системы. То обстоятельство, что все силы природы принадлежат именно к числу таких сил, дает весьма важное значение потенциалу и П. функции в механике и физике. Прежде всего следует указать, как изменяется общий закон изменения живой силы (см.) материальной системы, если силы, действующие на нее, имеют потенциал. Дело в том, что сумма элементарных работ таких сил при бесконечно малом перемещении системы равняется дифференциалу или бесконечно малому изменению dU потенциала, а так как та же сумма, по общему закону изменения живой силы, равняется бесконечно малому измнению dT живой силы Т системы, то dT = dU и отсюда Т — U = h, где h величина постоянная на всем движении системы. Обыкновенно называют живую силу системы ее кинетической энергией, а отрицательно взятую функцию — потенцильной энергией. Равенство Т — U = h выражает, что сумма обеих энергий остается постоянной при движении, или, как говорят: полная энергия системы остается при движения постоянной. К числу сил, имеющих потенциал, принадлежат силы взаимного притяжения или отталкивания между двумя материальными точками, если эти силы равны и противоположны, направлены по линии, проходящей через обе точки и величины их равны какой-либо функции f (r) расстояния r точек. Потенциал таких взаимнодействующих сил есть , где верхний знак (плюс) должен быть поставлен в случае сил отталкивания, а нижний (минус) — в случае сил притяжения. Например, для сил тяготения, подчиняющихся закону Ньютона, величина сил притяжения между материальными точками масс т и М равна отношению εтМ к r², поэтому потенциал этих двух сил будет ε[(mM)/r], здесь ε множитель, точная величина которого может быть определена при полном знании вида поверхности земли, внутреннего строения ее и величин ускорения силы тяжести в разных местах ее поверхности. Если имеется сплошное тело. частицы которого притягивают материальную точку по закону Ньютона, то равнодействующую сил притяжения можно будет определить, если определим П. функцию этих сил. Лаплас, Пуассон и Гаусс ("Allgemeine Lehrsätze in Beziehung aut die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Kräfte"; "C. F. Gauss Werke", т. 5) доказали, что П. функция таких сил обладает следующими свойствами, если размеры тела не бесконечно велики и если плотность его нигде не имеет бесконечно большой величины: a) П. функция V сил притяжения телом точки есть функция ее координат х, у, z, сплошная и конечная, b) производные ее (dV)/(dx), (dV)/(dy), (dV)/(dz) тоже сплошны и конечны, с) Сумма трех производных второго порядка:

Δ₂V = (d²V)/(dx²) + (d²V)/(dy²) + (d²V)/(dz²) = 0

при положении точки вне тела и d) эта сумма Δ ₂V равна — 4πεσm при положении точки внутри тела; здесь σ означает плотность тела в том месте, где находится притягиваемая точка, т — массу ее. Свойство с доказано Лапласом, свойство d — Пуассоном. П. функция однородного шара плотности σ, радиуса R и массы

М = 4/3πσR²

на точку массы равной единице выражается отношением εM к r (где r есть расстояние точки от центра шара), если точка находится вне шара; поэтому сила притяжения, действующая на точку, направлена к центру шара, обратно пропорциональна квадрату расстояния r и такова, как будто бы вся масса шара была сосредоточена в его центре. Если точка находится в массе шара на расстоянии r от центра, то П. функция выражается так: 2πεσ(R² — [1/3]r²) и сила притяжения опять направлена к центру шара, но имеет величину (4/3)πεσr, или ε(4/3)πσ(r³/r²) т. е. равна отношению εМ₁ к r², где

М₁ = (4/3)πσr³ есть масса той части шара, которая находится внутри сферы радиуса r. Отсюда следует, что тот слой шара, который заключается между сферами радиусов R и r, не оказывает притяжения на точку. Если определять притяжение, оказываемое однородным сферическим слоем, заключающимся между концентрическими сферами, или однородным слоем, заключающимся между двумя концентрическими и подобными эллипсоидами, на точку, находящуюся внутри пустых полостей которого-либо из этих тел, то окажется, что действия сил внутри полости нет.

Поверхность уровня. Если равнодействующая сил, приложенных к материальной точке,имеет П. функцию V₁, то все пространство, в котором может находиться точка, можно представить себе заполненными системой бесконечного множества поверхностей, на каждой из которых V имеет одну и ту же величину. Такие поверхности называются поверхностями уровня, каждая из них имеет свой параметр, а именно ту численную величину, которую имеет V в точках этой поверхности. Сила, действующая на точку, направлена всегда по нормали к той поверхности уровня, на которой находится точка, и направлена в ту сторону, где находятся поверхности уровня с параметрами большими параметра, свойственного этой поверхности. Величина силы равняется положительно взятому корню из суммы квадратов производных от V по х, у, z; эта величина:

называется дифференциальным параметром поверхности уровня в рассматриваемой точке. В гидростатике (см.) доказывается, что жидкость, капельная или упругая, может быть в равновсии только под влиянием сил, имеющих П., и что при таком состоянии поверхности уровня, где потенциал имеет одну и ту же величину, суть вместе с тем и поверхности одинакового гидростатического давления (см.), а при равновесии газообразных масс или упругих жидкостей поверхности уровня суть поверхности равной плотности и равного давления.

Д. Б.

Учение о потенциале играет весьма большую роль в теории электрических и магнитных явлений. Электрические явления вообще происходят так, как если бы существовали два особых вещества, или флюида, действующих друг на друга по закону Кулона, т. е. с силой, пропорциональной произведению взаимодействующих количеств и обратно пропорциональной квадрату их расстояния. Эти флюиды для краткости называют положительными и отрицательным электричествами. Они находятся на поверхности наэлектризованных тел, а явление электрического тока может быть рассматриваемо как течение этих электричеств в проволоках, причем течение положительного электричества в одном направлении и течение отрицательного электричества в противоположном направлении могут быть рассматриваемы как явления между собой тождественные. Единица количества электричества есть такое количество, которое на равное ему, находящееся на единице расстояния от него, действует с силой, равной единице силы. С. G. S. — единица количества электричества — получается, когда расстояние 1 стм и сила 1 дина. Кулон = 3.10⁹ C. G. S. единиц электричества. Если мы имеем наэлектризованные тела, то потенциал V в любой точке M пространства равен работе, которую производят электрические силы при переходе единицы электричества из M по произвольному пути в бсзконечность, или на весьма большое расстояние. В различных точках пространства V — различное. Если количество η электричества переходит из точки M в другую точку N, то работа ρ электрических сил равна

ρ = η(V₁ —V₂)

где v₁ и V₂ потенциалы в точках M и N. Так как работа ρ может быть только положительная, если η перемещается (течет) под влиянием электричееких сил, то ясно, что положительное электричество (η > 0) течет всегда от мест большего к местам меньшего потенциала (V₁ > V₂). Аналогично этому и теплота течет всегда от мест большей (более высокой) темп. к местам меньшей (более низкой) темп.; потенциал же аналогичен темп. (см. ниже). Другая аналогия: жидкости текут под влиянием силы тяжести от мест большей высоты к местам меньшей высоты. Внутри проводника электрическая сила должна везде равняться нулю, без чего невозможно равновесие электричества и внутри проводника появляются новые количества электричества (произойдет, как прежде говорили, разложение нейтральной смеси обоих электричеств). Если сила есть нуль, то и работа ρ, произведенная при мысленном перемещении η из M в N, тоже нуль (М и N произвольные точки внутри проводника). Отсюда следует, что V₁ = V₂; но ввиду произвольности положения точек M и N это равенство показывает, что все точки наэлектризованного проводника находятся при одном и том же потенциале V. Эта величина называется потенциалом самого проводника. Если соединить (длинной тонкой проволокой) два наэлектризованных тела (проводника), то + η потечет от тела, имеющего больший потенциал, к телу, имеющему меньший потенциал. Тела находятся при одинаковом потенциале, если при их соединении не происходит между ними обмена электричества. П. тела аналогичен, таким образом, температуре тела, т. е. степени нагретости. Потенциал есть мера степени электризации тела: для равновесия электричества на нескольких соединенных между собой проводниках необходимо, чтобы они все находились при одном потенциале. Единица потенциала (или разности потенциалов) равна разности V₁—V₂ потенциалов двух точек M и N, когда при переносе η=1 из M в N совершается работа ρ = 1, или она равна потенциалу шара, радиус которого R = 1, если на его поверхности находится η=1. В C. G. S. системе V₁—V₂=1, когда при переносе η=1 С. G. S. совершается. работа ρ=1 эргу или когда η=1 С. G. S. находится на шаре, для которого R=1 стм. Другая единица потенциала или разности потенциалов, употребляемая на практике, называется "вольт"; вольт = 1/300 С.G.S. единицы потенциала, только что определенной. Емкость q тела определяется количеством электричества, увеличивающим потенциал тела на единицу. Заряд η, потенциал V и емкость q связаны равенством η = qV; С. G. S. единицей емкости обладает шар, для которого R = 1 стм Фарада = 9.10¹¹ C. G. S. единиц емкости. Энергия E заряженного проводника выражается одной из формул

E = ¹/₂ηV = η²/2q = ¹/₂qV²

Если η, V и q выражены в С.G. S. единицах, то Е получается в эргах, если же η и q в кулонах, вольтах и фарадах, то Е в джоулях (10⁷ эргах = 0,102 кг-метр. = 0,24 мал. калории). Если два проводника А и В первого класса (металлы, уголь и т. д., не подвергающиеся электролизу) соприкасаются, то между ними устанавливается разность потенциалов V₁—V₂, не зависящая ни от формы тел, ни от поверхности S соприкосновения, а только от рода веществ А и В и от их физического состояния, например от их температуры. Причина скачка V₁—V₂ потенциала при переходе через S называется электродвижущей (эл. двиг.) силой е; она измеряется разностью V₁—V₂, т. е. принимает e=V₁—V₂. Следовательно, единицей электродвижущей силы можно принять вольт. Если символически изобразить е через е = А|В, то закон Вольта говорит, что А|В + В|С = А|С, где С третье тело. Для замкнутого ряда проводников первого класса, например металлов, получаем А|В + B|C + C|D +...N|M + M|A = 0, т. е. сумма скачков потенциала или сумма эл. дв. сил равна нулю. Проводники второго класса (растворы солей и кислот, вообще электролиты) не следуют закону Вольты. Если S раствор, то A|S + S|B ≠ А|В; для комбинации A, S, В, А (например, медь — кислота — цинк — медь) имеет A|S + S|B + В|А ≠ 0. Такая комбинация есть разомкнутый элемент или разомкнутая цепь; сумма действуюших в ней эл. дв. сил (сумма скачков потенциала) не равна нулю; эта сумма называется эл. дв. силой Е элемента. Она равна разности потенциалов на концах (электродах) разомкнутой цепи. В замкнутой цепи статическое состояние невозможно, если Е не нуль. Должно установиться непрерывное течение электричества, одинаковое во всех частяхт" цепи. Но + η может течь только от больших потенциалов к меньшим, а потому потенциал должен во всех частях уменьшаться или падать вдоль цепи по направлению течения + η. Если мысленно обойти всю цепь, то сумма встречающихся изменений потенциала должна равняться нулю; следоват., сумма всех падений равна сумме скачков, или сумма падений равна Е. Если J — сила тока, r сопротивление произвольного, но однородного отрезка цепи, и если V₁ — V₂ падение потенциала в этом отрезке, то J=(V₁-V₂)/r. Так как J везде одинаковое, то падение потенциала пропорционально сопротивлению отрезка цепи, или на равные сопротивления приходятся равные падения. Если V₁ — V₂ выражено в вольтах, J в амперах (кулон электричества протекает в сек.), то r выражено в омах. Если написать подобные же выражения J для всех частей цепи, то J должно также равняться сумме числителей (сумме падений), деленной на сумму знаменателей (сопротивление R всей цепи). Но сумма падений есть Е, следовательно, J=E/R; это закон Ома. На измерении разности потенциалов на концах разомкнутой цепи основаны статические способы измерения эл. дв. сил элементов. Работа ρ, совершаемая в части цепи, равна (см. выше) ρ=η(V₁—V₂); но η=Jt, где t время, ибо J измряется количеством электричества, протекающим во время t=1; далее V₁—V2=rJ. Отсюда работа ρ=J²rt; эквивалентное ей количество теплоты выделяется в цепи. Эта формула выражает закон Ленца и Джоуля. Если J, r и t выражены в амперах, омах и секундах, то работа или теплота ρ получается в джоулях (см. выше). Для всей цепи ρ=J²rt=Jet. Из формулы J=(V₁—V₂)r легко получаются законы Кирхгофа о разветвлениях тока. В термодинамике играет роль термодинамический потенциал, не отличающийся существенно от "свободной энергии" Гельмгольца, от функции Массье (Massleu) и от функции Джиббса (Gibbs; см. Энергия).

О. X.