НУЛЬ

- 1) Число, обладающее тем свойством, что любое (действительное или комплексное) число при сложении с ним не меняется. Обозначается символом 0. Произведение любого числа на Н. равно Н.:

Если произведение двух чисел равно Н., то один из сомножителей равен Н. (т. е. из ab=0 следует, что или а=0, или b=0). Деление на Н. не определено. Непосредственным обобщением этою понятия является понятие Н. абелевой группы.

2) Н. абелевой группы - элемент абелевой группы А(в аддитивной записи), также обозначаемый символом 0 и удовлетворяющий аксиоме для всех . Н. абелевой группы определен однозначно.

3) Н. кольца (в частности, тела, поля) - Н. его аддитивной группы. Н. кольца (как и число 0) относительно операции умножения обладает свойством поглощения: Однако в произвольном кольце произведение двух ненулевых элементов может быть равно Н. Такие элементы наз. делителями нуля. Поля, тела и области целостности делителей Н. не имеют.

4) Левый Н. полугруппы А(в мультипликативной записи) - элемент , удовлетворяющий аксиоме 0*а=0 для всех .Правый Н. определяется двойственной аксиомой. Двусторонний Н. (т. е. левый и правый одновременно) в полугруппе может быть только один. Н. кольца является также Н. мультипликативной полугруппы этого кольца.

5) Н. решетки - наименьший элемент этой решетки. Полная решетка всегда обладает Н., он - пересечение всех ее элементов.

6) Н. алгебраической системы - элемент, отмечаемый нульарной операцией (см. Алгебраическая операция, Алгебраическая система). В большинстве рассмотренных выше примеров Н. является единственным в данной системе и даже образует нулевую подсистему.

Н. наз. также нулевым элементом.

7) Н. категории - см. в ст. Нулевой объект категории.

8) Н. функции принимающей значения в нек-рой абелевой группе (кольце, поле, теле) А,- набор значений переменных при к-ром

О. А. Иванова, Л. В. Кузьмин.