НАКРЫТИЕ

- отображение пространства Xна пространство У, при к-ром прообраз нек-рой окрестности U(у)каждой точки распадается на открытые подмножества, гомеоморфно отображающиеся посредством рна U(у). Эквивалентно: р- локально тривиальное расслоение с дискретным слоем.

Обычно Н. рассматривается в предположении связности Xи Y и также локальной связности и локальной односвязности Y. При этих предположениях устанавливается связь между фундаментальными группами и то индуцированный гомоморфизм р _* отображает изоморфно на подгруппу в и, меняя точку можно получить в точности все подгруппы из нек-рого класса сопряженных подгрупп. Если этот класс состоит из одной подгруппы Н(т. е. Н - нормальный делитель), то Н. наз. регулярным. В этом случае возникает свободное действие группы на X, причем роказывается факторотображением на пространство орбит Y. Это действие порождается поднятием петель: если петле сопоставить единственный путь для к-рого то точка будет зависеть только от класса этой петли в Gи от точки х ₀ . Таким образом, элементу из G отвечает перестановка точек в . Эта перестановка не имеет неподвижных точек, если и непрерывно зависит от точки у ₀ . Возникает гомеоморфизм X.

В общем случае эта конструкция определяет лишь перестановку в т. е. имеется действие на , наз. монодромией накрытия.

Частным случаем регулярного Н. является универсальное накрытие, для к-рого Вообще, по каждой группе однозначно строится Н. р: X, для к-рого .В качестве точек Xберутся классы путей два пути q₁ и q₂ отождествляются, если q₁(l) = q₂(l) и петля лежит в элементе из Н. Точка q(1)для путей из одного класса считается образом этого класса, что определяет р. Топология в X однозначно задается требованием, чтобы роказалось Н.: при этом существенна локальная односвязность Y. Для любого отображения f линейно связного пространства Z, z₀ в Y, у ₀ поднятие его до отображения существует тогда и только тогда, когда . Между накрытиями Y имеется отношение частичного порядка (накрытие накрытия есть накрытие), двойственное включению подгрупп в В частности, универсальное Н. является единственным максимальным элементом.

Примеры. Параметризация окружности (cos j, sin j) задает ее Н. числовой прямой , к-рое часто записывают в комплексной форме е ^ij и наз. экспоненциальным. Аналогично, тор накрывается плоскостью. При отождествлении диаметрально противоположных точек сферы возникает Н. сферой проективного пространства соответствующей размерности. Вообще, свободные действия дискретных групп - обычный источник регулярных Н. (над пространством орбит, хотя и не всякое такое действие задает Н. (пространство орбит может оказаться неотделимым)), но это так для конечных групп.

А. В. Чернявский.