НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕН

НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕН

наилучшего приближения полином,- многочлен, осуществляющий наилучшее приближение функции в той или иной метрике среди всех многочленов, построенных по той же (конечной) системе функций. Если X - линейное нормированное пространство функций (напр., или ) ,

- система линейно независимых функций из X, то для любой (обобщенный) Н. п. м.

определяемый соотношением

существует. Единственность Н. п. м. для всех имеет место, во всяком случае, если X- пространство со строго выпуклой нормой (т. е. из следует, что ). Таким является пространство при . В пространстве , норма к-рого не является строго выпуклой, Н. п. м. для любой единствен, если система является чебышевской на т. е. каждый многочлен

имеет на отрезке не более чем нулей. В частности, единственность имеет место для алгебраич. многочленов в а также для тригонометрич. полиномов в пространстве непрерывных на всей оси периодических функций с равномерной метрикой. Если Н. п. м. существует и единствен для любой то он непрерывно зависит от х.

Известны критерии, указывающие необходимые и достаточные признаки Н. п. м. в пространствах и Справедлива, напр., теорема Чебышева: если система является чебышевской, то для того, чтобы многочлен (*) являлся для функции Н. п. м. в метрике пространства необходимо и достаточно, чтобы нашлась система из точек в к-рых разность

принимает значения

причем

Многочлен (*) является Н. п. м. для функции в метрике этого пространства тогда и только тогда, когда

k=1, 2, ... , п. В случае р=1, т. е. в пространстве L1[a, b], условия

достаточны, а если мера множества тех точек tиз ( а, b), где равна нулю, то и необходимы, чтобы был Н. п. м. для см. также Маркова крите рий.

Существуют алгоритмы приближенного построения многочленов наилучшего равномерного приближения (см., напр., [3], [5]).

Лит.:[1] Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; [2] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории приближения, М., 1976; [3] Дзядык В. К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, М., 1977; [4] Тихомиров В. М., Некоторые вопросы теории приближений, М., 1976; [5] Лоран П. Ж., Аппроксимация и оптимизация, пер. с франц., М., 1975; [6] Ремез Е. Я., Основы численных методов чебышевского приближения, К., 1969.

H. П. Корнейчук, В. П. Моторный.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕН" в других словарях:

  • АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ — многочлен, наименее уклоняющийся от заданной функции. Точнее, пусть измеримая функция f(x).интегрируема с р й степенью на множество алгебраич. многочленов степени не выше п. Величину наз. наилучшим приближением, а многочлен, для к рого нижняя… …   Математическая энциклопедия

  • ТЕЙЛОРА МНОГОЧЛЕН — степени пдля функции f. праз дифференцируемой при х=х0 многочлен вида Значения Т. м. и его производных до порядка n включительно в точке х=х0 совпадают со значениями функции и ее соответствующих производных в той же точке: Т. м. является… …   Математическая энциклопедия

  • ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ — замена по определенному правилу функции f(t).близкой к ней в том или ином смысле функцией j(t). из заранее фиксированного множества (приближающего множества). Предполагается, что функция f определена на том множестве Qm мерного евклидова… …   Математическая энциклопедия

  • НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ — функции x(t)функциями u(t)из фиксированного множества F величина где погрешность приближения (см. Прибли жения функций мера). Можно говорить о Н. п. в произвольном метрич. пространстве X, когда определяется расстоянием между элементами хи и, в… …   Математическая энциклопедия

  • Приближение и интерполирование функций —         раздел теории функций, посвященный изучению вопросов приближённого представления функций.          Приближение функций нахождение для данной функции f функции g из некоторого определённого класса (например, среди алгебраических… …   Большая советская энциклопедия

  • Алгоритм Ремеза — (также алгоритм замены Ремеза)  это итеративный алгоритм равномерного аппроксимирования функций f ∊ C[a,b], основанный на теореме П. Л. Чебышёва об альтернансе. Предложен Е. Я. Ремезом в 1934 году[1]. Алгоритм Ремеза… …   Википедия

  • ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ — прямые и обратные теоремы теоремы и неравенства, устанавливающие связь между дифференциально разностными свойствами приближаемой функции и величиной (а также поведением) погрешности приближения ее тем или иным методом. Прямые теоремы (п. т.) дают …   Математическая энциклопедия

  • ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ — случай многих действительных переменных случай, когда приближаемая функция f зависит от двух и большего числа переменных: (см. Приближение функций). По сравнению с одномерным случаем исследование вопросов приближения функций т(т 2) переменных… …   Математическая энциклопедия

  • Золотарев, Егор Иванович — известный математик, проф. Петроградского университета, адъюнкт Академии Наук, родился 31 марта 1847 г. в Петрограде, первоначальное образование получил в V Петроградской гимназии. По окончании в ней курса с серебряною медалью З. поступил в 1863… …   Большая биографическая энциклопедия

  • ЧЕБЫШЕВА ПОСТОЯННАЯ — числовая характеристика компактного множества Ена комплексной плоскости, употребляемая в теории наилучшего приближения. Пусть К п класс всех многочленов вида степени п, и пусть Существует многочлен для к poro М(tn)= т n, он наз. многочленом… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»