- НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕН
наилучшего приближения полином,- многочлен, осуществляющий наилучшее приближение функции
в той или иной метрике среди всех многочленов, построенных по той же (конечной) системе функций. Если X - линейное нормированное пространство функций (напр.,
или
) ,
- система линейно независимых функций из X, то для любой
(обобщенный) Н. п. м.
определяемый соотношением
существует. Единственность Н. п. м. для всех
имеет место, во всяком случае, если X- пространство со строго выпуклой нормой (т. е. из
следует, что
). Таким является пространство
при
. В пространстве
, норма к-рого не является строго выпуклой, Н. п. м. для любой
единствен, если система
является чебышевской на
т. е. каждый многочлен
имеет на отрезке
не более чем
нулей. В частности, единственность имеет место для алгебраич. многочленов в
а также для тригонометрич. полиномов в пространстве
непрерывных на всей оси
периодических функций с равномерной метрикой. Если Н. п. м. существует и единствен для любой
то он непрерывно зависит от х.
Известны критерии, указывающие необходимые и достаточные признаки Н. п. м. в пространствах
и
Справедлива, напр., теорема Чебышева: если система
является чебышевской, то для того, чтобы многочлен (*) являлся для функции
Н. п. м. в метрике пространства
необходимо и достаточно, чтобы нашлась система из
точек
в к-рых разность
принимает значения
причем
Многочлен (*) является Н. п. м. для функции
в метрике этого пространства тогда и только тогда, когда
k=1, 2, ... , п. В случае р=1, т. е. в пространстве L1[a, b], условия
достаточны, а если мера множества тех точек tиз ( а, b), где
равна нулю, то и необходимы, чтобы
был Н. п. м. для
см. также Маркова крите рий.
Существуют алгоритмы приближенного построения многочленов наилучшего равномерного приближения (см., напр., [3], [5]).
Лит.:[1] Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; [2] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории приближения, М., 1976; [3] Дзядык В. К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, М., 1977; [4] Тихомиров В. М., Некоторые вопросы теории приближений, М., 1976; [5] Лоран П. Ж., Аппроксимация и оптимизация, пер. с франц., М., 1975; [6] Ремез Е. Я., Основы численных методов чебышевского приближения, К., 1969.
H. П. Корнейчук, В. П. Моторный.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.