НАИЛУЧШАЯ КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА

оптимальная квадратурная формула,- формула приближенного интегрирования, обеспечивающая на заданном классе функций минимальную погрешность среди всех формул определенного типа. Пусть рассматривается квадратурная формула

где - весовая функция. Остаток (погрешность) зависит как от функции , так и от вектора узлов (обычно предполагается, что ) и коэффициентов При фиксированных через Аобозначим нек-рое множество векторов (, ) (и, следовательно, квадратурных формул), определяемое теми или иными ограничениями на узлы и коэффициенты (в частности, можно рассматривать множество коэффициентов при фиксированном векторе узлов ). Пусть - нек-рый класс функций , причем предполагается, что для интеграл и сумма в (*) имеют смысл. Н. к. ф. вида (*) для класса относительно множества Аопределяется вектором для к-рого

Задача отыскания Н. к. ф. тесно связана с нек-рыми задачами сплайн-аппроксимации;в ряде случаев она сводится к минимизации нормы моносплайна (см. [1]). Известны Н. к. ф. и соответствующие точные оценки остатка для многих важных классов непрерывных и дифференцируемых функций. С более общей точки зрения отыскание Н. к. ф. и доставляемой ею на классе погрешности можно рассматривать как задачу оптимального восстановления функционала

где по информации Понятие Н. к. ф. естественным образом обобщается на случай функций многих переменных, т. с. на кубатурные формулы.

Лит.:[1] Никольский С. М., Квадратурные формулы, 3 изд., М., 1979; [2] Крылов В. И., Приближенное вычисление интегралов, 2 изд., М., 1967; [3] Лоран П. Ж., Аппроксимация и оптимизация, пер. с франц., М., 1975; [4] Женсыкбаев А. А., "Успехиматем. наук", 1981. т. 36, в. 4, с. 10 7-59. Н. П. Корнейчук, В. П. Моторный.