- НАИВЫСШЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СТЕПЕНИ ТОЧНОСТИ КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА
- формула вида
где весовая функция
предполагается неотрицательной на
и такой, что существуют интегралы
при этом
Узлами
квадратурной формулы (1) являются корни ортогонального на
с весом
многочлена степени N, а коэффициенты определяются тем, что квадратурная формула является интерполяционной. Такая квадратурная формула имеет алгебраич. степень точности
, т. е. она является точной для всех алгебраич. многочленов
степени не выше 2N-1 и не точна для
, и наз. квадратурной формулой гауссова типа.
Имеется следующее обобщение квадратурных формул наивысшей алгебраич. степени точности. Пусть в квадратурной формуле
с числом узлов
узлы
заданы заранее (фиксированные узлы), а узлы
выбираются так, чтобы квадратурная формула имела наивысшую алгебраич. степень точности. Пусть
Чтобы квадратурная формула (2) была точна для всех многочленов степени не выше
необходимо и достаточно, чтобы она была интерполяционной и многочлен
был ортогонален на [ а, b]с весом
ко всем многочленам степени не выше п-1. Это приводит вопрос о существовании квадратурной формулы, точной для всех многочленов степени не выше m+2n-1, к нахождению многочлена
степени и, ортогонального на [а, b]с весом
и выяснению свойств его корней. Если корни
действительные, простые, принадлежат [а, b]и их совокупность имеет пустое пересечение с совокупностью фиксированных узлов, то требуемая квадратурная формула существует. Если, кроме того,
то ее алгебраич. степень точности равна
При указанных выше предположениях о весовой функции
ортогональный на
с весом
многочлен
степени попределяется однозначно (с точностью до отличного от нуля постоянного множителя) в следующих частных случаях.
1)
, п- любое. Берется один фиксированный узел, совпадающий с концом промежутка
при этом выбранный конец промежутка должен быть конечным числом.
2) m=2, n - любое. В качестве фиксированных узлов берутся оба конца промежутка [а, b], к-рый считается конечным.
3) т- любое, п=т+1. В качестве фиксированных узлов берутся корни ортогонального на [а, b] с весом р(х)многочлена
В случаях 1) и 2) многочлен
является ортогональным относительно веса
сохраняющего знак на промежутке интегрирования [а, b], поэтому его корни действительные, простые, лежат внутри ( а, b) и, следовательно, не совпадают с аи b. Квадратурная формула (2) существует, ее коэффициенты положительны и алгебраич. степень точности равна т+2п-1. Квадратурные формулы, соответствующие случаям 1) и 2), наз. формулами Маркова.
В случае 3) вес
меняет знак на
и это осложняет исследование корней
. Если
где
то корни
лежат внутри
и разделяются корнями
: между любыми двумя соседними корнями
лежит точно один корень многочлена
(см. [2]).
Для рассматриваемого веса квадратурная формула (2) существует и точна для всех многочленов степени не выше
; однако нельзя утверждать, что алгебраич. степень точности равна
. При
узлы и коэффициенты квадратурной формулы можно указать явно (см. [3]), при этом алгебраич. степень точности в первом случае повышается до
а во втором - до
Для
и промежутка [0, 1] вычислены (см. [4]) узлы и коэффициенты квадратурной формулы (2) (с фиксированными узлами типа 3)) при
(тменяется от 1 до 40 с интервалом 1); алгебраич. степень точности равна
при тчетном и равна
при тнечетном. Квадратурная формула (2) с фиксированными узлами типа 3) существует также для промежутка
и веса
при
при этом узлы и коэффициенты можно указать явно (см. [3]).
Лит.:[1] Крылов В. И., Приближенное вычисление интегралов, 2 изд., М., 1967; [2] Szego G., "Math. Ann.", 1934, Bd 110, Н. 4, S. 501-13; [3] Мысовских И. П., "Изв. АН БССР. Сер. фаз.-тэхщч. навук", 1964, .№ 4, с. 125-27; [4] Кронрод А. С, Узлы и веса квадратурных формул. Шестнадцатизначные таблицы, М., 1964. И. П. Мысовских.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.