- МАУРЕРА - КАРТАНА ФОРМА
- левоинвариантная 1-форма на группе Ли G, т. е. дифференциальная форма
степени 1 на G, удовлетворяющая условию
для любого левого сдвига
М.- К. ф. на Gнаходятся во взаимно однозначном соответствии с линейными формами на касательном пространстве
в точке е; точнее, соответствие,
сопоставляющее каждой М.- К. ф.
ее значение
из
, является изоморфизмом пространства
М.- К. ф. на
. Дифференциал М.- К. ф. есть левоинвариантная 2-форма на G, определяемая формулой
где
- любые левоинвариантные векторные поля на G. Пусть
- базис в
и пусть
, i=l, . . ., n,- такая М.- К. ф., что
Тогда
где
- структурные константы алгебры Ли
группы G, состоящей из левоинвариантных векторных полей на G, в базисе
таком, что
Равенства (2) (или (1)) наз. уравнениями Маурера - Картана. Первым их получил (в иной, по эквивалентной форме) Л. Маурер [1]. Формы wi были введены Э. Картаном в 1904 (см. [2]).
Пусть
- канонич. координаты в окрестности точки ена G, определенные базисом
Тогда формы
записываются в виде
причем матрица
вычисляется по формуле
где
- присоединенное представление алгебры Ли
Далее, пусть
есть
-значная 1-форма на G, сопоставляющая каждому касательному вектору к Gединственное левоинвариантное векторное поле, содержащее этот вектор (каноническая левая дифференциальная форма). Тогда
и
что является еще одной записью уравнений Маурера - Картана.
Лит.:[1] Maurer L., "Sitzungsber. math, physik. Kl. Bayerischen Akad. Wiss." (Munchen), 1899, Bd 18, S. 103-50; [2] Gartan E., Cеuvres completes, pt. 2, vol. 2, P., 1953, p. 571-624; [3] Шевалле К., Теория групп Ли, т. 1, М., 1948; [4] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976; [5] Неlgason S., Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces, N. Y.- San Fr. - L., 1978. А. Л. Онищип.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.