ПСЕВДОГРУППОВАЯ СТРУКТУРА

на многообразии M - максимальный атлас Агладких локальных диффеоморфизмов многообразия Мна фиксированное многообразие V, все функции перехода между к-рыми принадлежат данной псевдогруппе Г локальных преобразований многообразия V. Псевдогруппа Г наз. определяющей псевдогруппой, а многообразие V - модельным пространством. П. с. с определяющей псевдогруппой Г наз. также Г-структурой. Более подробно, множество А V -значных карт многообразия М(т. е. диффеоморфизмов открытых подмножеств на открытые подмножества ) называется П. с., если а) любая точка принадлежит области определения нек-рой карты j из А;б) для любых карт из Афункция перехода является локальным преобразованием данной псевдогруппы Г; в) множество А является максимальным множеством карт, удовлетворяющих условию 2).

Примеры П. с. 1) Псевдогруппа Г преобразований многообразия Vзадает П. с. (V, Г) на V, картами к-рой служат локальные преобразования из Г. Она наз. стандартной плоской Г-структурой .2) Пусть V=К ⁿ есть га-векторное пространство над или левый модуль над телом кватернионов , а Г - псевдогруппа локальных преобразований V, главные линейные части к-рых принадлежат группе GL(n, К). Соответствующая Г-структура на многообразии Месть структура гладкого многообразия при , комплексного аналитич. многообразия при и специального кватернионпого многообразия при . 3) Пусть Г - псевдогруппа локальных преобразований векторного пространства V, сохраняющих данный тензор S. Задание Г-структуры равносильно заданию интегрируемого ноля тензоров типа 5 на многообразии М. Напр., если S - невырожденная кососимметричная 2-форма, то Г-структура есть симплектич. структура. 4) Пусть Г - псевдогруппа локальных преобразовании пространства , сохраняющих с точностью до функционального множителя дифференциальную 1-форму

Тогда Г-структура есть контактная структура. 5) Пусть V=G/H - однородное пространство группы Ли G, а Г - псевдогруппа локальных преобразований V, продолжающихся до преобразований из группы G. Тогда Г-структура паз. П. с., определяемой однородным пространством V. Примерами таких структур являются структура пространства постоянной кривизны (в частности, локально евклидова пространства), плоские конформные и проективные структуры.

Пусть Г - транзитивная псевдогруппа Ли преобразований пространства порядка l;Г-структура Ана многообразии Мопределяет главное подрасслое-ние расслоения кореперов любого порядка kна M, состоящее из k-струй карт из А:

Структурной группой расслоения p_k, является группа изотропии k- гoпорядка G^k (Г) псевдогруппы Г, к-рая действует на B^k по формуле

Расслоение p_k наз. k-м структурным расслоением или G^k (Г)-структурой, определяемой П. с. А. Расслоение p_l, где l - порядок псевдогруппы Г, в свою очередь, однозначно определяет П. с. Акак множество карт , для к-рых

, если

Геометрия расслоения p_k характеризуется наличием канонической G^k (Г)-эквивариантной горизонтальной относительно проекции 1-формы со значением в пространстве , где - алгебра Ли группы изотропии . Она задается формулой

где

и удовлетворяет нек-рому структурному уравнению Маурера - Картана. Алгебра Ли инфинитезимажных автоморфизмов Г-структуры может быть охарактеризована как алгебра Ли векторных полей на В ^l, сохраняющих каноническую 1-форму q^l.

Основной проблемой теории П. с. является проблема описания П. с. па многообразии с определяющей псевдогруппой Г с точностью до эквивалентности. Две П. с. на многообразии иаз. эквивалентными, если одна из них может быть переведена в другую диффеоморфизмом многообразия.

Пусть Г - глобализуемая транзитивная псевдогруппа преобразований односвязного многообразия V. Любое односвязное многообразие Мс Г-структурой Адопускает отображение , называемое разверткой Картана, к-рое локально является изоморфизмом Г-структур. Если Г-структура Аобладает нек-рым условием полноты, в частности, если многообразие Мкомпактно, то отображение r является изоморфизмом Г-структур и все Г-структуры рассматриваемого типа являются формами стандартной Г-структуры V, т. е. получаются из Vфакторизацией по свободно действующей дискретной группе автоморфизмов (V, Г). Так обстоит дело, напр., с (псевдо)римановыми структурами постоянной кривизны и с конформно плоскими структурами на компактных многообразиях М ⁿ, n>2. Важное место в теории П. с. занимает теория деформаций, первоначально развитая для комплексной структуры. В ней изучается вопрос об описании нетривиальных деформаций Г-структуры А, т. <е. семейств А _t Г-структур, содержащих данную Г-структуру и гладко зависящих от параметров tпо модулю тривиальных деформаций. Пространство формальных инфинитезимальных нетривиальных деформаций данной Г-структуры описывается как пространство H¹ ( М,Q) одномерных кого. <мологий многообразия М с коэффициентами п пучке ростков Q инфинитезимальных автоморфизмов Г-структуры А . Тривиальность итого пространства влечет жесткость Г-структуры. Тривиальность двумерных когомологий: Н ² ( М,Q)=0 позволяет при нек-рых условиях доказать существование нетривиальных деформаций Г-структуры, соответствующих данной инфинитознмальной деформации из Н ¹ ( М,Q).

Лит.:[1] Киртан Э., Геометрия римановых пространств, пер. с франц., М-- Л., 1936; [2] Gui11еmin V., Sternberg S., Deformation theory of pseudogroup structures, Providence, 1906 ("Mem. Amer. Math. Soc.", № 64); [3] Ро11асk A. S., "J. Diff. Geom.", 1974, v. B, № 3,p. 355-90; [4] Griffiths P. A., "Math. Ann.", 1964, Bd 155, H. 4, S. 292-315; 1965, Bd 158, II. 5, S. 326 - 351; [5] Роmmaret J. F., "Ann. Inst. H. PoincariS n. Ser.", 1973, v. 18, p. 285-352; [6] Веrаrd Вergerу L., Воurguignon J. P., Lafontaine J., "Proc. Symp. Pure Math.", 1975, v. 27, p. 3-32; |7] Sреncer D. C. "Ann. Math.", 1962, v. 76, № 2, p. 306-398; № 3, p. 399-445. Д. В. Алексеевскии.