- ВЕСОВОЕ ПРОСТРАНСТВО
конечномерное пространство
, удовлетворяющее условию: если
- Ли алгебра над полем
, а
- ее представление в V, то существует такая функция
, что для любых
при нек-ром целом
. Функция
наз. весом. Тензорное произведение
представлений
алгебры Lв В. п.
принадлежащих весам
соответственно, является представлением Lв пространстве
к-рое также оказывается В. п. и принадлежит весу i
При переходе от представления р к контраградиентному представлению
пространство Vзаменяется на сопряженное пространство
, а вес
переходит в вес -
. Е. Н. Кузьмин. ВЕТВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ нелинейных уравнений- явление перехода нек-рого решения нелинейного уравнения в несколько решений (или полное его исчезновение) при малых изменениях параметров. Более точно, пусть нелинейное уравнение
с (не обязательно числовым) параметром
имеет при фиксированном значении
решение
. Тогда при значениях
, близких к
, уравнение (*) может иметь несколько (более одного) решений
, близких к
.
В этих случаях говорят, что происходит ветвление решения
,а пара
наз. точкой ветвления у равнения (*).
Пример: Уравнение
, где
и
- комплексные переменные, имеет точку ветвления
ибо существует двузначное решение
т. е. решение
(при
) разветвляется при малых
на два малых нетривиальных решения.
Современная теория В. р. основывается на идеях А. М. Ляпунова [1] и Э. Шмидта [2] и наиболее развита для нелинейных уравнений в банаховых пространствах.
Пусть
и
- комплексные банаховы пространства,
- комплексное переменное, а
- нелинейный оператор, непрерывный вместе с Фреше производной
в окрестности
точки
отображающий
в окрестность нуля пространства E2 п такой, что
- Фредгольма оператор.
Задача состоит в том, чтобы найти в шаре
достаточно малого радиуса rвсе решения уравнения (*), непрерывные при
где
также достаточно мало. Иными словами, это есть задача локального продолжения решения
по параметру
. Если существует обратный оператор
, то задача имеет единственное решение
, причем
Если же
, не существует, то нуль-пространство
оператора Вимеет размерность
. В этом случае задача может быть сведена к аналогичной конечномерной задаче. Пусть через Робозначен проектор
на
, а через
- проектор
на область значений оператора В, где I - тождественный оператор. Уравнение (*) может быть записано в виде системы
где
Из первого уравнения системы определяется неявный оператор
В результате его подстановки во второе уравнение системы получается уравнение
для определения
; оно наз. уравнением разветвления. Полное решение задачи о нахождении в шаре
достаточно малого радиуса rвсех решений
уравнения разветвления, непрерывных при
(где
достаточно мало), приводит к полному решению исходной задачи, ибо всякое ее решение пред-ставимо в виде
где
- нек-рое решение уравнения разветвления.
Пусть
- аналитический оператор в
. Выбор базисов в и-мерных подпространствах
и
позволяет записать уравнение разветвления в виде системы
- аналитич. функции в точке
причем все частные производные
обращаются в нуль в этой точке. Исследование этой системы может осуществляться при помощи теории исключения, метода Ньютона диаграммы п др. методов (см. [3] - [5]). При n=1 полный анализ осуществляется методом диаграммы Ньютона. Применительно к исследованию уравнения разветвления, а значит и исходной задачи, возможны лишь следующие три случая: а) задача не имеет решений; б) задача имеет конечное число решений и все ени представимы сходящимися рядами по целым или дробным степеням разности
; в) задача имеет конечное число семейств решений, каждое из к-рых зависит от конечного числа свободных малых параметров, и, быть может, конечное число решений, указанных в б).
Для того чтобы имел место случай б), достаточно, чтобы
было изолированным решением уравнения
В случае б) решения удобно искать методом неопределенных коэффициентов в виде
где
- коэффициенты, подлежащие определению, а возможные значения рмогут быть предварительно найдены с помощью уравнения разветвления. Подстановка такого ряда в (*) приводит к рекуррентной системе для нахождения
При этом получаются задачи вида
и каждое xk определяется с точностью до ппроизвольных постоянных, к-рые определяются из требований разрешимости последующих уравнений. Все полученные ряды сходятся в нек-рой окрестности точки
. Оценка снизу радиуса окрестности может быть получена с помощью построения мажорант (см. [6]).
Для того чтобы имел место случай в), необходимо, чтобы
было неизолированным решением уравнения
. Здесь применение метода неопределенных коэффициентов может привести к расходящимся рядам (формальным решениям). Если задача инвариантна относительно непрерывной группы линейных операторов в
, то в ряде случаев использование групповых соображений позволяет уменьшить число уравнений и неизвестных в уравнении разветвления и тем самым упростить задачу или даже свести ее к случаю б) (см. [7], [8]). .
Уравнение
может иметь также решения, определенные лишь при
Эти решения возможны только тогда, когда
- неизолированное решение уравнения
они находятся при помощи уравнения разветвления при
Определение всех его многопараметрич. семейств решений приводит к определению всех решений уравнения (*) с
В случае вещественных пространств
и
уравнение разветвления изучается в комплексной области, а затем отбираются вещественные решения. Нек-рые из них могут оказаться определенными в полуокрестностях точки
Изложенная методика частично применима также в случаях, когда
- достаточно гладкий оператор, В - нётеров оператор, а параметр
- элемент еще одного банахова пространства Е(точки ветвления могут заполнять в Елинии и поверхности). Этим же способом исследуются нек-рые близкие задачи: задача отыскания больших решений (уравнение (*) может иметь решения
при
), задача ветвления собственных значений и собственных элементов линейных операторов и др. (см. [3]). Частный случай, когда
исследовался также топологическими, вариационными методами и методами, использующими конусы в банаховом пространстве. В этом круге вопросов значительную роль играет понятие точки бифуркации. Встречаются также задачи о ветвлении решений, не укладывающиеся в описанную выше схему. Это, напр., задачи для дифференциальных уравнений с вырождением (см. [9], [10]) и задачи о длинных и уединенных волнах (см. [11]).
Лит.:[1] Ляпунов А. М., О фигурах равновесия, мало отличающихся от эллипсоидов, вращающейся однородной мяссы жидкости, Собр. соч., т. 4, М., 1959; [2] Sсhmidt E., "Math. Ann.", 1908, Bd 65, S. 370-99; [3] Вайнберг М. М.. Треногий В. А., Теория ветвления решений нелинейных уравнений, М., 1989; 4 Вайнберг М. М., Треногин В. А., "Успехи матем. наук", 1962, т. 17, в. 2: [5] Красносельский М. А. [и д р.], Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969; [6] Ахмедов К. Т., "Успехи матем. наук", 1957, т. 12, в. 4, с. 135-53; [7] Юдович В. И., "Прикл. матем. и механ.", 1967, т. 31, в. 1, с. 101 -11; [8] ЛогиновБ. В., Треногий В. <А., "Докл. АН СССР", 1971, т. 197, № 1; [9] АхмедовК. <Т., там же, 1957, т. 115, № 1;[10] Сидоров Н. А., "Дифференц. уравнения", 1967, т. 3, № 9; [11] Тер-Крикоров А. М., Треногин В. А., там же, т. 3, № 3.
В, А. Треногий.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.