ЛУПА

- квазигруппа с единицей, т. е. с таким элементом е, что хе=ех=х для любого элемента хиз квазигруппы. Значение Л. в теории квазигрупп определяется следующей теоремой: всякая квазигруппа изотопна (см. Изотония).нек-рой Л. Поэтому одной из основных задач теории квазигрупп является описание Л., к-рым изотопны квазигруппы данного класса.

С каждой Л. связаны три ядра. Множество

элементов из Л. Q(Х)наз. левым ядром. Аналогично определяются среднее и правое ядра. Они всегда существуют в Л. Их пересечение наз. я д-р о м лупы. Каждое ядро - ассоциативная подлупа, т. е. подгруппа в Q(Х). Соответственные ядра изотопных Л. изоморфны. Существуют Л. с любыми наперед заданными ядрами. Л. Q(Х), изотопная группе Q(Х), является сама группой и изоморфна группе Q(Х) (теорема А л б е р т а). В частности, изотопные группы изоморфны. Нек-рые другие классы Л. также обладают этим свойством, напр, свободные лупы. Л. Q(Х)наз. G- л у п о й, если любая Л., изотопная Q(Х), будет ей изоморфна.

На Л. распространяются многие понятия и результаты теории групп. Однако нек-рые обычные свойства групп могут и не иметь места для Л. Так, в конечных Л. теорема Лагранжа (о том, что порядок подгруппы делит порядок группы), вообще говоря, не имеет места. Если тем не менее для Л. справедлива теорема Лагранжа, то такую Л. наз. л а г р а н ж е в о й. Бели всякая подлупа Л. Q(Х) лагранжева, то говорят, что Q(Х)обладает свойством L'. Необходимым и достаточным условием, чтобы Л. Q(Х)обладала свойством L', является следующее: Q(Х)должна обладать такой нормальной цепью

где Q_i нормальная подлупа в Q_i-1, что Q_i-1/Q_i для всех i = l, 2, . . ., побладает свойством L'.

Наиболее изученным и наиболее близким к группам является класс Муфанг луп. Основная теорема о них (теорема Муфанг): если три элемента а, b, с такой Л. связаны ассоциативным законом, т. е.

то они порождают ассоциативную подлупу, т. е. группу. В частности, всякая лупа Муфанг диассоциативна, т. е. любые ее два элемента порождают ассоциативную подлупу. Свойство Л. быть лупой Муфанг является универсальным, т. <е. инвариантным при изотонии: любая Л., изотопная лупе Муфанг, сама является лупой Муфанг.

Одним из наиболее общих классов Л. является класс IP - л у п, или луп со свойством обратимости. Они определяются тождествами

Здесь ^-1 х и х ^-1 соответственно левый и правый обратные элементы для х. Всякая лупа Муфанг будет IP- лупой. В IP- лупеядра совпадают. Ядро лупы Муфанг является нормальной характеристической подлупой. Свойство Л. быть IР -лупой не является универсальным. Более того, если всякий изотоп нек-рой IP-лупы Q (Х) есть IР -лупа, то Q(Х) является лупой Муфанг. Более общим, чем класс IP-луп, является класс WIP -луп, или луп со свойством ослабленной обратимости. Они определяются тождеством Это тождество универсально, если

для всех х, у,где - нек-рый автоморфизм. В этом случае ядро WIP- лупыявляется нормальным и факторлупа по ядру будет лупой Муфанг. Частным случаем WIP- лупявляются CI- лупы, или скрещенно-обратимые лупы, определяемые тождеством

Обобщением луп Муфанг являются (левые) лупы Бола, в них выполняется тождество

Они инвариантны при изотонии и моноассоциативны, т. е. каждый элемент такой Л. порождает ассоциативную подлупу.

Важным понятием теории квазигрупп и Л. является понятие псевдоавтоморфизма. Подстановка j Л. Q(Х)наз. левым псевдоавтоморфизмом, если существует такой элемент что выполняется равенство

и наз. правым псевдоавтоморфизмом, если существует такой элемент что

Если j - одновременно левый и правый псевдоавтоморфизм, то j наз. псевдоавтоморфизмом, а элементы а и b - соответственно левым и правым компаньонами. В Л. автоморфизм - частный случай псевдоавтоморфизма. Каждый псевдоавтоморфизм IР -лупы индуцирует автоморфизм в ее ядре, а в коммутативной лупе Муфанг всякий псевдоавтоморфизм является автоморфизмом.

В теории Л. значительную роль играют внутренние подстановки. Подстановка а из ассоциированной группы GЛ.. Q(Х) с единицей е наз. внутренней, если ae=e. Совокупность I всех внутренних подстановок является подгруппой группы Gи наз. группой внутренних подстановок. Группа I порождается подстановками трех видов:

С помощью внутренних подстановок определяются А - лу п ы - лупы, для к-рых все внутренние подстановки являются автоморфизмами. Если A-лупа одновременно является IР -лупой, то она диассоциативна. Коммутативные диассоциативные А-лупы являются лупами Муфанг. Для коммутативных луп Муфанг внутренние подстановки являются автоморфизмами.

Нек-рые определения из теории групп переносятся и на Л. Так, Л. наз. гамильтоновой, если всякая ее подлупа нормальна. Абелевы группы также считаются гамильтоновыми Л. Моноассоциативные га-мильтоновы Л. с элементами конечного порядка являются прямыми произведениями гамильтоновых р-луп (р-лупа определяется аналогично р-группе). Диассоциативные гамильтоновы Л. будут либо абелевыми группами, либо прямым произведением где А- абелева группа, элементы к-рой имеют нечетный порядок, Т - абелева группа экспоненты 2, а Н - некоммутативная Л., удовлетворяющая нек-рым дополнительным условиям.

Л. Q(Х) наз. линейно (частично) упорядоченной, если Qлинейно (частично) упорядоченное множество (относительно ) и из следует

и обратно. Если в линейно упорядоченной Л. центр имеет конечный индекс, то Q(Х)центрально нильпотентна. Решеточно упорядоченные Л. с условием минимальности для элементов являются свободными абелевыми группами.

Л. изучались и с помощью ассоциированных групп. Доказано, напр., что существует взаимно однозначное соответствие между нормальными подлупами Л. и нормальными делителями соответствующей ассоциированной группы.

Лит. см. при статье Квазигруппа. В. Д. Белоусов.