ЛУЗИНА ПРОСТРАНСТВО

- несчетное топологич. T₁ -пространство, в к-ром каждое нигде не плотное подмножество счетно. Существование Л. п. на действительной прямой вытекает из континуум-гипотезы. Из отрицания континуум-гипотезы и аксиомы Мартина следует, что не существует Л. п. со счетной p-базой. В частности, с системой аксиом Цермело-Френкеля теории множеств и аксиомой выбора совместно утверждение, что любое сепарабельное метрич. пространство не содержит Л. п. Существование метризуемых Л. п. доказано при весьма широких предположениях о месте мощности континуума в шкале алефов. Любое Л. п. X, лежащее в сепарабельном метрич. пространстве Y, обладает следующим свойством: для любой последовательности положительных чисел существует последовательность множеств {А _п} такая, что и - диаметр множества А. Оно инвариантно относительно непрерывных отображений. Любой непрерывный образ Л. п., лежащий в Y, имеет меру Лебега нуль и является нульмерным пространством. Более того, любой непрерывный образ Л. п., лежащий в Y, вполне несовершенен, т. е. не содержит канторова совершенного множества. Из континуум-гипотезы вытекает существование регулярного, наследственно сепарабельного, наследственно финально компактного, экстремально несвязного Л. п. счетного p-веса и мощности континуума.

Лит.:[1] Лузин Н. Н., "С. г. Acad. sci.", 1914, t. 158, p. 1258-61; [2] К уратовский К., Топология, т. 1, М., 1966. Б. А. Ефимов.