РОБЕНА ЗАДАЧА

з а д а ч а р а в н о в е с и я, э л е к т р о с т а т и ч е с к а я з а д а ч а,- задача о таком распределении положительной борелевской меры l. на границе Sкомпакта Kв n-мерном евклидовом пространстве , к-рое создает постоянный ньютонов потенциал при п> 2 или логарифмический потенциал при n = 2 на каждой из связных компонент внутренности K, т. е. задача о равновесном распределении электрич. заряда l(K). на поверхности Sпроводника K.

В простейшем классич. случае, когда Kесть гомеоморфная шару замкнутая область в , ограниченная гладкой простой замкнутой поверхностью или (при n=2) кривой Sкласса , решение Р. з. сводится к отысканию нетривиального решения , однородного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода

(1) с условием нормировки

(2) Здесь

при - расстояние между точками - направление внешней нормали к Sв точке - производная, или плотность, абсолютно непрерывной меры l по мере Лебега на S,

при - элемент площади поверхности S. Уравнение (1) получается при рассмотрении внутренней задачи Неймана для области с границей Sпри нулевых граничных данных, т. к. потенциал простого слоя

называемый, п о т е н ц и а л о м Р о б е н а, или равновесным потенциалом, должен, по условию Р. з ., иметь постоянное значение на K (см. Потенциала теория, а также [2]). Решение v(x) задачи (1), (2) при указанных условиях всегда существует в классе непрерывных функций C(S). Мера

дающая решение Р. з., наз. равновесной м е р о й. Аналогично решается Р. з. и в более сложном случае, когда граница компакта K состоит из конечного числа непересекающихся простых замкнутых поверхностей или (при n = 2) кривых класса С ^1,a, 0 <a < 1 (см. [2]). При этом на ограниченных связных компонентах открытого множества потенциал Робена и(х)также сохраняет постоянное значение, т. е. на границах этих компонент плотность v(x)=0.

Пусть компакт K есть связное множество. Постоянное значение потенциала Робена и(х)на K

наз. п о с т о я н н о й Р о б е н а компакта K. При она связана с гармонической, или ньютоновой, емкостью компакта Kпростым соотношением С(К)== 1/g, причем . При n=2 постоянная Робена может принимать все значения , гармонич. емкость выражается формулой C(K)=e^-g.

Иначе, равновесная мера l определяется как мера, дающая минимум интегралу энергии

в классе всех мер m, сосредоточенных на K и таких, что . Такая мера l в случае компакта Kсгладкой границей совпадает с найденной выше, но она существует и в общем случае произвольного компакта , если только С(K)> 0. Соответствующий р а в н о в е с н ы й п о т е н ц и а л

являющийся обобщением потенциала Робена, сохраняет постоянное значение g=1/C(K)при или при п=2 всюду на K, за возможным исключением точек нек-рого множества емкости нуль.

Название Р. з. связано с исследованиями Г. Робена (см. [1]).

Лит.:[1] R o b i n G., "Ann. sci. Ec. norm. super.", 1886, v. 3; [2] Г ю н т е р Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, М., 1953; [3] Л а н д к о ф Н. С., Основы современной теории потенциала, М., 1966; [4] X е й м а н У., К е н н е д и П., Субгармонические функции, пер. с англ., т. 1, М., 1980. Е. Д. Соломенцев.