ЛИНЕЙЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

в дифференциальной геометрии - поверхность, образованная движением прямой линии. Прямые, принадлежащие этой поверхности, называются прямолинейными образующими, а каждая кривая, пересекающая все прямолинейные образующие,- направляющей кривой. Если - радиус-вектор Направляющей, a m=m(v) - единичный вектор образующей, проходящей через то радиус-вектор Л. п. есть

где и - координата точки на образующей. Линейный элемент Л. п.:

Л. п. характеризуется тем, что ее асимптотич. сеть - полугеодезическая. Л. п. всегда можно и притом единственным образом изогнуть так, что произвольная линия на ней станет асимптотической (теорема Бельтрами). Кроме того, если Л. п. F, не являющаяся развертывающейся, изгибается в Л. п. F*, то либо их образующие соответствуют друг другу, либо обе они изгибаются в квадрику, на к-рой сеть, соответствующая семействам образующих,- асимптотическая (теорема Бонне).

Множество точек Л. п., в к-рых обращается в нуль геодезич. кривизна ортогональных траекторий образующих, наз. стрикционной линией Л. п. (или линией с ж а т и я, т. к. через каждую точку ее - стр и кц ионную точку - в пределе проходит общий перпендикуляр двух бесконечно сближающихся образующих). Координата стрикционной точки на цилиндре стрикционная линия не определена, на других развертывающихся поверхностях она является ребром возврата. Предел ротношения кратчайшего расстояния между двумя бесконечно сближающимися образующими Л. п. к углу между ними наз. параметром распределения Л. п.: развертывающаяся поверхность характеризуется тем, что для нее р=0. Гауссова кривизна Л. п:

Единственная минимальная Л. п.- геликоид. Л. п. вращения - однополостный гиперболоид, быть может вырождающийся в цилиндр, конус или плоскость.

Если все прямолинейные образующие Л. п. параллельны одной плоскости, то она представляет собой Каталана поверхность.

Лит.:[1] Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1, М.- Л., 1947; [2] Шуликовский В. И., Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении, М., 1963. И. X. Сабитов.

Л. п. в алгебраической геометрии - гладкая проективная поверхность Fнад алгебраически замкнутым полем k, бирационально эквивалентная поверхности где Р ¹- проективная прямая, а С - нек-рая гладкая проективная кривая рода Примером Л. п. служит проективизация локально свободного в топологии Зариского пучка ранга 2 на С.

Если существует гладкий морфизм р:каждый слой к-рого изоморфен Р ¹, то Fназ. геометрически линейчатой поверхностью с базой С. В случае, когда С- кривая рода 0, геометрически Л. п. наз. рациональной линейчатой поверхностью; в случае, когда род кривой Сравен - геометрически линейчатой поверхностью рода g. По теореме Нётера - Энрикеса морфизм рвсегда имеет сечение s: (см. [1], [2], [5]).

Свойства Л. п. (см. [1], [2], [6]):

1) Каждая геометрически Л. п. Fс базой Симеет вид - нек-рый локально свободный пучок ранга 2 на С, причем

над Стогда и только тогда, когда существует обратимый пучок на С, что

2) Все рациональные геометрически Л. п. с точностью до изоморфизма исчерпываются счетной серией поверхностей

- целое число, Q_p,(n) - обратимый пучок на Р ¹ степени п; причем, кроме поверхности Веронезе все поверхности степени пв pⁿ⁺¹ являются рациональными геометрически Л. п. или конусами над нормальными рациональными кривыми.

3) Если F - минимальная гладкая проективная поверхность над k, бирационально эквивалентная где С - кривая рода то F- геометрически Л. п. с базой С, причем кривая Сопределяется поверхностью Fоднозначно с точностью до изоморфизма.

4) Если F - геометрически Л. п. с базой Си - соответствующий морфизм, то

где S - класс нек-рого сечения,

для любого

и

где g - род С,

-иррегулярность,

- геометрич. род,

есть га-кратный род, К _F - канонич. дивизор поверхности F.

5) Если F - геометрически Л. п. с базой С, S - класс нек-рого сечения морфизма то существует такой обратимый пучок на С, что обратимый пучок ' определяет изоморфное вложение при к-ром слои морфизма ротображаются на прямые, лежащие на и заметающие F', т. е. F' является Л. п. в обычном смысле.

Л. п. составляют отдельный класс в классификации Энрикеса алгебраич. поверхностей (см. [1], [2], [3]). Они характеризуются любым из следующих эквивалентных критериев линейчатости (см. [1], [3], [4], [5], [7]):

1) кодаиры размерность

2) n-кратный род Р _n (Р) = 0 для n=12;

3) для нек-рой (равносильно для любой) минимальной модели F* поверхности Fвыполняется условие обрыва присоединения, т. е. для любого дивизора существует такое целое число п ₀, что линейная система пуста для всех где К _F- канонич. дивизор;

4) на нек-рой (равносильно на любой) минимальной модели F* существует кривая Ена

Лит.:[1] Алгебраические поверхности, М., 1965 (Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 75); [2] В е a u v i l l е A., "Asterisque", 1978, № 54; [31 Bombieri Е., Husemoller D., "Proc. Symp. Pure Math.", 1975, v. 29, p. 329 - 420; [4] В о m b i e r i Е., М и m f о г d D., в кн.: Complex analysis and algebraic geometry, Camb., 1977, p. 23-42; [5] E n r i q u е a F., Le superficie algebriche, Bologna, 1949; [6] Hartshorne R., Algebraic geometry, N. Y.- Hdlb.- В., 1977; [7] К о d a i r a K., "Amer. J. Math.", 1968, v. 90, № 4, p. 1048-66.

В. А. Псковских.