ЛИ ЛОКАЛЬНАЯ АЛГЕБРА

ЛИ ЛОКАЛЬНАЯ АЛГЕБРА

алгебра Ли, элементами к-рой являются гладкие функции на гладком вещественном многообразии М(или, более общо, гладкие сечения гладкого векторного расслоения Е над М), а операция коммутирования непрерывна в -топологии и носит локальный характер, т. е.

где supp f - носитель функции (сечения) f. Известна полная классификация Ли л. а. для расслоений Ес одномерным слоем (в частности, для обычных функций) (см. [3]). А именно, операция коммутирования в этом случае является бидифференциальным оператором первого порядка, т. е. имеет вид

где - частные производные по локальным координатам на М. Далее, пусть Р(х) - подпространство в касательном пространстве Т Х М к многообразию Мв точке порожденное векторами

Тогда распределение интегрируемо, так что многообразие Мраспадается в объединение интегральных многообразий. Операция коммутирования перестановочна с ограничением на Ma, и возникающие таким образом структуры Ли л. <а. на М a. транзитивны в том смысле, что Р(х).для любой точки хсовпадает с касательным пространством к интегральному многообразию М a, содержащему х.

Каждая транзитивная Ли л. а. локально определяется размерностью подстилающего многообразия с точностью до замены переменных в базе и слое. Для четномерного многообразия она изоморфна алгебре скобок Пуассона, а для нечетномерных - алгебре скобок Лагранжа (см. [1]).

Примером Ли л. а., иллюстрирующим общую теорию, является структура алгебры Ли в , в к-рой

где - структурные константы нек-рой n-мерной алгебры Ли (см. [2]). В этом случае многообразие естественно отождествляется с пространством двойственным к а разбиение на подмногообразия М a, совпадает с разбиением на орбиты коприсоединенного представления.

Ли л. а. возникают как алгебры Ли нек-рых бесконечномерных групп Ли. В частности, они являются алгебрами Ли для дифференциальных групп в смысле Дж. Ритта [4]. Из работы [6] вытекает описание всех Ли л. а., связанных с расслоениями на прямой с двумерным слоем. Все такие Ли л. а. являются расширениями алгебры скобок Лагранжа (которая в этом случае совпадает с алгеброй Ли векторных полей) с помощью тривиальной Ли л. а. с одномерным слоем. Анонсирована [6] классификация "простых" Ли л. а.

Лит.:[1] А р н о л ь д В. И., Математические методы классической физики, М., 1974; [2] Б е р е з и н Ф. А., "Функциональный анализ и его приложения", 1967, т. 1, в. 2, с. 1-14; [3] К и р и л л о в А. А., "Успехи матем. наук", 1976, т. 31, в. 4, с.57-76; [4] R i t t J. F., "Ann. Math.", 1950, v. 52 p. 708-26; [5] е г о же, там же, 1951, v. 53, p. 491 - 519; [6] Weisfeiler В., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1978, v. 84 № 1, p. 127 - 30. А. А. Кириллов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "ЛИ ЛОКАЛЬНАЯ АЛГЕБРА" в других словарях:

  • Алгебра Ли — Алгебра Ли  объект абстрактной алгебры. Естественно появляется при изучении инфинитезимальных свойств групп Ли. Названа по имени норвежского математика Софуса Ли (1842 1899). Содержание 1 Определение 1.1 Замечания …   Википедия

  • Локальная теорема — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У …   Википедия

  • ЛОКАЛЬНАЯ УНИФОРМИЗАЦИЯ — нахождение для локального кольца бирационально эквивалентного ему регулярного локального кольца. Для неприводимого алгебраич. многообразия Vнад полем k разрешающей системой наз. семейство проективных неприводимых многообразий {Va}, бирационально… …   Математическая энциклопедия

  • КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, изучающий свойства коммутативных колец и связанных с ними объектов ( идеалов, модулей, нормирований и т. д.). К. а. выросла из задач, возникавших в теории чисел и алгебраич. геометрии. Задачи эти, как правило, относились к… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ ГРАДУИРОВАННАЯ АЛГЕБРА — алгебра Ли над полем К, градуированная при помощи нек рой абелевой группы А, т. е. разложенная в прямую сумму подпространств , таким образом, что Если А упорядоченная группа, то для каждой фильтрованной алгебры Ли ассоциированная с ней… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ АЛГЕБРА — лиева алгебра, унитарный k модуль Lнад коммутативным кольцом k с единицей, к рый снабжен билинейным отображением прямого произведения в L, обладающим следующими двумя свойствами: 1) [ х, х] = 0 (откуда вытекает антикоммутативность 2) ( х,[ у,… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ ЛОКАЛЬНАЯ ГРУППА — аналитическая локальная группа, аналитическое многообразие Gнад полем k, полным относительно нек рого нетривиального абсолютного значения, снабженное отмеченным элементом е(единицей), открытым подмножеством и парой аналитич. отображений… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГРУППЫ — а л г е б р а Л и группы Л и G, определенной над полем k, полным относительно нек рого нетривиального абсолютного значения, алгебра Ли группы G, рассматриваемой как Ли локальная группа. Таким образом, как векторное пространство отождествляется с… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ НИЛЬАЛГЕБРА — алгебра Ли над полем k, определяемая наличием функции такой, что для любых х, . Основной вопрос о Лин. условия на k, п, при к рых (локально) нильпотентна (см. Ли нильпотентная алгебра). Конечномерная над kЛи н. нильпотентна. С другой стороны, над …   Математическая энциклопедия

  • ИНВАРИАНТОВ ТЕОРИЯ — в классическом определении алгебраическая теория (иногда называемая также алгебраической И. т.), изучающая алгебраич. выражения (многочлены, рациональные функции или их совокупности), изменяющиеся определенным образом при невырожденных линейных… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»