ЛЕВИ КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

ЛЕВИ КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

формула для логарифма характеристич. функции безгранично делимого распределения:

где характеристики Л. к. п. М, N удовлетворяют следующим условиям: и N(х) - неубывающие непрерывные слева функции на соответственно и такие, что

Каждому безгранично делимому распределению соответствует единственный набор характеристик Л. к. п. и обратно, при приведенных выше условиях на Ми Nпо любому такому набору Л. к. п. определяет логарифм характеристич. функции нек-рого безгранично делимого распределения.

Так, для нормального распределения со средним аи дисперсией

Для распределения Пуассона с параметром l

Устойчивому распределению с показателем a, 0<a<2, соответствует Л. к. п. с

и нек-рым

где - постоянные (с 12>0). Л. к. п. безгранично делимого распределения было предложено П. Леви (P. Levy, 1934). Оно является обобщением формулы А. Н. Колмогорова, найденной им в 1932 для случая, когда безгранично делимое распределение имеет конечную дисперсию. Для имеется эквивалентная Л. к. п. формула, предложенная в 1937 А. Я. Хинчиным и называемая Леви-Хинчина каноническим представлением. Вероятностный смысл функций N и Ми область использования Л. к. п. определяются следующим: каждой безгранично делимой функции распределения F(х).соответствует стохастически непрерывный однородный процесс с независимыми приращениями

такой, что

В свою очередь сепарабельный процесс Xупомянутого типа имеет с вероятностью 1 выборочные траектории без разрывов второго рода, и поэтому для b>a>0 определена случайная величина равная числу элементов в множестве

В этих обозначениях для функции N, соответствующей F(x), имеет место следующее соотношение

Аналогичное соотношение имеет место и для функции М.

В терминах характеристик Л. к. п. функции распределения легко выражаются многие свойства поведения выборочных траекторий сепарабельного процесса X. В частности, при

почти все выборочные функции Xс вероятностью 1 будут ступенчатыми функциями с конечным числом скачков на любом конечном интервале. Если и

то выборочные траектории Xс вероятностью 1 имеют ограниченную вариацию на любом конечном интервале. Непосредственно через характеристики Л. к. п. определяется инфинитезимальный оператор, соответствующий процессу Храссматриваемому как марковская случайная функция. Многие аналитич. свойства безгранично делимой функции распределения непосредственно выражаются в терминах характеристик ее Л. к. п.

Имеются аналоги Л. к. п. для безгранично делимых распределений, задаваемых на широком классе алгебраич. структур.

Лит.: [1] Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.- Л., 1949; [2] Петров В. В., Суммы независимых случайных величин, М., 1972; [3] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [4] Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 2, М., 1973; [5] И т о К., Вероятностные процессы, пер. с япон., т. 2, М., 1963. Б. А. Рогозин.



Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "ЛЕВИ КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ" в других словарях:

  • ЛЕВИ - ХИНЧИНА КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — формула для логарифма характеристич. функции безгранично делимого распределения: где подинтегральная функция при x=0 равна l2/2 и характеристики Л. X. к. п. g и Gудовлетворяют следующим условиям: g действительное число, G(x). неубывающая… …   Математическая энциклопедия

  • Леви, Поль — Поль Леви Paul Pierre Lévy Дата рождения: 15 сентября 1886( …   Википедия

  • УСТОЙЧИВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — распределение вероятностей, обладающих свойством, что для любых a1>0, b1, a2>0, b2 имеет место соотношение где a>0 и b нек рые постоянные, F функция распределения У. р., * символ операции свертки двух функций распределения. Характеристическая… …   Математическая энциклопедия

  • БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — распределение вероятностей, к рое при любом п=2,3, 4, ... может быть представлено как композиция (свертка) подинаковых распределений вероятностей. Определение Б. д. р. в равной степени применимо к распределениям на прямой, в конечномерных… …   Математическая энциклопедия

  • ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС — однородный гауссов ский процесс X(t) с независимыми приращениями. В. п. служит одной из математич. моделей для процесса броуновского движения. Простым преобразованием В. п. может быть превращен в стандартный В. п. , , для к рого при таких средних …   Математическая энциклопедия

  • Италия — I Италия (Italia)         Итальянская Республика (La Repubblica Italiana).          I. Общие сведения          И. государство на юге Европы в центральной части Средиземноморья. Берега И. омываются морями: на З. Лигурийским и Тирренским, на Ю.… …   Большая советская энциклопедия

  • Италия — I Италия (Italia)         Итальянская Республика (La Repubblica Italiana).          I. Общие сведения          И. государство на юге Европы в центральной части Средиземноморья. Берега И. омываются морями: на З. Лигурийским и Тирренским, на Ю.… …   Большая советская энциклопедия

  • Франция — (France)         Французская Республика (République Française).          I. Общие сведения          Ф. государство в Западной Европе. На С. территория Ф. омывается Северным морем, проливами Па де Кале и Ла Манш, на З. Бискайским заливом… …   Большая советская энциклопедия

  • Эллипс — Не следует путать с Эллипсис. Эллипс, его фокусы и главные оси …   Википедия

  • Малая полуось — Не следует путать с термином «Эллипсис». Эллипс и его фокусы Эллипс (др. греч. ἔλλειψις недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F1… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»