- ЛАКУНА
- 1) Л. в теории функций - см. А дамара теорема о лакунах, Лакунарный степенной ряд.
2) Л. в геометрии - см. Движений группа, Лакунарное . пространство.
3) Л. в теории дифференциальных уравнений с частными производными - одна из областей D, на к-рые разбивается внутренность характеристич. конуса линейной гиперболич. системы
с вершиной в точке ( х 0, t0).плоскостью t=t1, обладающая следующим свойством: малые достаточно гладкие изменения начальных данных внутри Dне влияют на значение решения uв точке ( х 0, t0). В (1) предполагается, что
- линейный дифференциальный оператор порядка nj и порядок дифференцирований в нем по tне превосходит nj=1. Под "изменением внутри" понимается изменение в нек-рой области, входящей в Dвместе со своей границей. Для волнового уравнения
решение uзадачи Коши
в точке
вполне определяется значениями функций 
на сфере 
при нечетном n>1 и на шаре 
при четном n и n=1, поэтому область 
на плоскости t=0 является Л. для уравнения (2) при нечетном n>1. Для четного пи n=1 уравнение (2) Л. не имеет. Это согласуется с Гюйгенса принципом для решений волнового уравнения.
Возмущение начальных данных (3) в малой окрестности точки х 0 приводит к сферич. волне с центром в этой точке, к-рая при нечетном n>1 имеет передний и задний фронты. При остальных значениях пзадний фронт этой волны "размыт", это явление наз. диффузией волн. Диффузия волн типична для всех линейных гиперболич. уравнений 2-го порядка, если число ппространственных переменных четно (см. [1]). Аналогичный вопрос для n=3 изучался в [2], где был описан класс гиперболич. уравнений 2-го порядка, для к-рых диффузия волн отсутствует. Уравнения этого класса тесно связаны с волновым уравнением. Для общих гиперболич. систем (1) найдена связь "в малом" между существованием Л. для системы (1) и аналогичным вопросом для соответствующей системы с постоянными коэффициентами (см. [3]). Для последних систем получены необходимые и достаточные условия алгебраич. характера, обеспечивающие наличие Л.
Лит.:[1] А д а м а р Ж., Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа, пер. с франц., М., 1978; [2] Mathisson M., "Acta math.", 1939, t. 71, № 3-4, p. 249-82; [3] П е т р о в с к и й И. Г., "Матем. сб.", 1945, т. 17, с. 289-370; [4] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964. А. П. Солдатов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
