КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

для обыкновенного дифференциального уравнения - задача о нахождении решения уравнения

принадлежащего заданному множеству Dпространства абсолютно непрерывных на Jфункций от tсо значениями в

Здесь функция f(t, x).определена на принимает значения в и удовлетворяет условиям Каратеодори; J - промежуток числовой прямой

1) К. з. (1), (2) наз. линейной, если

где функции A(t).и b(t).суммируемы на каждом компактном промежутке из J; множество Dявляется линейным многообразием в В частности, может быть

где функция Ф (t).имеет ограниченную вариацию. Линейная К. з. порождает линейный оператор

собственные значения к-рого являются теми значениями параметра при к-рых однородная К. з.

имеет нетривиальные решения. Эти нетривиальные решения суть собственные функции оператора L. Если обратный оператор существует и имеет место интегральное представление

то функция G(t, s).наз. функцией Грина.

2) Пусть функция f(t, x).почти периодична по tравномерно относительно x на каждом компактном подмножестве из - множество абсолютно непрерывных на J почти периодич. функций от t. Тогда К. з. (1), (2) наз. задачей о почти периодических решениях.

3) В теории управления рассматриваются К. з. с функциональным параметром - управлением. Напр., пусть задано уравнение

множество допустимых управлений U и два множества Пусть D - множество абсолютно непрерывных функций от t, удовлетворяющих включениям К. з. состоит в нахождении такой пары что и решение x₀(t).уравнения (3) при удовлетворяет условию

4) Имеется большое количество разнообразных необходимых и достаточных условий существования, единственности решения разных К. з. и методов построения приближенного решения (см. [4]-[7]). Рассмотрим, напр., задачу

в которой

для нек-рых постоянных Пусть соответствующая однородная задача

регулярна, т. е. имеет только тривиальное решение. Тогда задача (4) имеет по крайней мере одно решение, если либо либо и bдостаточно мало. Исследование задачи (5) на регулярность является довольно сложной проблемой. Однако, напр., линейная К. з. (скалярная)

регулярна, если при найдется такое что

Лит.:[1] X а р т м а н Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970; [2] Красносельский М. А., Б у р д В. III., К о л е с о в Ю. С., Нелинейные почти периодические колебания, М., 1970; 13]П о н т р я г и н Л. С., [и др.], Математическая теория оптимальных процессов, 3 изд., М., 1976; [4] К р а с о в с к и й Н. Н., Теория управления движением. Линейные системы, М., 1968; [5] Зубов В. И., Лекции по теории управления. М., 1975; [6] К а м к е Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976; [7] К и г у р а д з е И. Т., Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, Тб., 1975.

Ю. В. Номленко, Е. Л. Тонков.