КОШИ ОПЕРАТОР

КОШИ ОПЕРАТОР

системы обыкновенных дифференциальных уравнений

- зависящий от параметров оператор сопоставляющий значению всякого решения x(t).системы (1) в точке значение этого же решения в точке

Если система (1) линейная, т. е.

где -суммируемое на каждом отрезке отображение (или то К. о. при всяких есть невырожденное линейное отображение (соответственно ), удовлетворяющее при всяких равенствам:

н неравенству

(Для нелинейной системы (1), удовлетворяющей условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши, равенства (3) тоже верны, с должными оговорками относительно областей определения входящих в них операторов.) Общее решение системы

где - суммируемое на каждом отрезке отображение записывается через К. о. системы (2) формулой произвольных постоянных вариации:

Для К. о. системы (2) имеет место Лиувилля-Остроградского формула

где - след оператора

Производная К. о. системы (1) в точке равна К. о. системы уравнений в вариациях вдоль решения x(t).системы (1), равного хпри (предполагается, что график решения х(t).при всех t, принадлежащих отрезку с концами содержится в области такой, что f - непрерывное отображение имеющее непрерывную в G производную это - одна из формулировок теоремы о дифференцируем ости решения по начальному значению).

Для линейной системы (2) с постоянными коэффициентами (A(t)=A) К. о. задается формулой

(ехр Вдля линейного оператора Вопределяется как при другом подходе за определение ехр А можно принять формулу (4), положив в ней ). Из формулы (4) видно, что К. о. зависит только от разности параметров

Это равенство - следствие автономности системы, имеющее место для всякой автономной системы

обозначив для системы (5) К. о. через получают из формул (3) следующие формулы:

(см. также Динамическая система, Действие группы). Для линейной системы (2) с периодическими коэффициентами:

при нек-ром T>0 и всех - выполняется тождество при всех _ для такой системы оператор где - любое, наз. оператором м о н о д р о м и и. Матрица, задающая оператор (или, напр., Х( Т,0)) в каком-либо базисе, наз. монодромии матрицей. Все операторы монодромии фиксированной линейной системы с периодическими коэффициентами подобны друг другу:

поэтому спектр оператора монодромии не зависит от т. Собственные значения оператора монодромии наз. мультипликаторами такой системы, через них выражаются условия устойчивости и условной устойчивости системы (см. Ляпунова характеристический показатель, Устойчивость по Ляпунову, Устойчивости теория). Для систем (2) с периодическими комплексными коэффициентами:

для нек-рого T>0 и всех - имеет место теорема Ляпунова:

где при любых является невырожденным линейным оператором периодически зависящим от

Иногда К. о. наз. по-другому (напр., "матрицантом"- для линейной системы, или "оператором сдвига по траекториям"). В. М. Миллионщиков.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "КОШИ ОПЕРАТОР" в других словарях:

  • КОШИ МАТРИЦА — линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений матрица, задающая Коши оператор . этой системы в нек ром базисе пространства (или ), не зависящем от В. М. Миллионщиков …   Математическая энциклопедия

  • КОШИ - КОВАЛЕВСКОЙ ТЕОРЕМА — теорема, утверждающая существование (единственного) аналитич. решения задачи Коши в малом, если функции, задающие дифференциальное уравнение или систему этих уравнений и все начальные данные вместе с их нехарактеристическим носителем, являются… …   Математическая энциклопедия

  • СДВИГА ОПЕРАТОР — оператор Tt, зависящий от параметра tи действующий на нек ром множестве Ф отображений (где А абелева полугруппа, Е множество) по формуле (говорят также, что Tt оператор сдвига на t).В качестве Ачасто фигурируют (тогда Tt сдвиг в том или ином… …   Математическая энциклопедия

  • ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР — отображение когда закон соответствия Азадается с помощью интеграла. И. о. наз. иногда интегральным преобразованием. Так, напр., для интегрального оператора Урысона (см. Урысона уравнение): закон соответствия Аопределяется интегралом (или оператор …   Математическая энциклопедия

  • НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР — линейный оператор в гильбертовом пространстве, спектральный анализ которого не укладывается в рамки теории самосопряженных операторов и ее простейших обобщений: теории унитарных операторов и теории нормальных операторов. Н. о. возникают при… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИНЕЙНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР — в узком смысле оператор, действующий на функции, заданные на открытом множестве и принимающий значения в поле или по формуле где функции со значениями в том же поле, наз. коэффициентами А. Если коэффициенты принимают значения во множестве матриц… …   Математическая энциклопедия

  • Дифференциальный оператор — Дифференциальный оператор (вообще говоря, не непрерывный, не ограниченный и не линейный)  оператор, определённый некоторым дифференциальным выражением и действующий в пространствах (вообще говоря, векторнозначных) функций (или сечений… …   Википедия

  • ФУРЬЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР — интегральный оператор, обобщенное ядро к рого является быстроосциллирующей функцией или интегралом от такой функции. Операторы такого типа возникли при исследовании асимптотики быстроосциллирующих решений уравнений с частными производными (см.… …   Математическая энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР — обобщение оператора дифференцирования. Д. о. (вообще говоря, не непрерывный, не ограниченный и не линейный) оператор, определенный нек рым дифференциальным выражением и действующий в пространствах (вообще говоря, векторнозначных) функций (или… …   Математическая энциклопедия

  • МОНОТОННЫЙ ОПЕРАТОР — одно из понятий нелинейного функционального анализа. Пусть Е банахово пространство, его сопряженное, значение линейного функционала на элементе . Оператор А, вообще говоря, нелинейный и действующий из , наз. монотонным, если для любых . Оператор… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»