- КОНФОРМНЫЙ РАДИУС
области - характеристика конформного отображения односвязной области, определяемая следующим образом. Пусть D- односвязная область плоскости z, имеющая более одной граничной точки. Пусть z0- точка D. Если
то существует единственная функция w=f(z), регулярная в D, нормированная условиями f(z0) =0, f'(z0)=1 и однолистно отображающая область Dна круг |w|<r. Радиус r=r(z0, D )указанного круга наз. К. р. области В в точке z0. Если
то существует единственная функция w=f(z), регулярная в области Dза исключением точки беск., в окрестности к-рой она имеет
разложение в ряд Лорана вида и однолистно отображающая Dна область w>r. В этом случае величина
наз. К. р. области Dв точке
К. р. области D,
в точке беск. равен трансфинитному диаметру границы Собласти D, или емкости множества С.
Расширением понятия К. р. области на случай произвольной области Dкомплексной плоскости, z является понятие внутреннего радиуса области Dв точке
(в зарубежной литературе термин "внутренний радиус" употребляется и в случае односвязной области). Пусть D- область комплексной плоскости z, z0 - точка Dи пусть существует функция Грина g(z,z0) области Dс полюсом в точке z0. Пусть g-постоянная Робэна области Dотносительно точки z0:
Величина r=eV наз. внутренним радиусом области Dв точке z0. Если D- односвязная область, граница к-рой содержит не менее двух точек, то внутренний радиус области Dв точке
равен
К. р. области Dв точке z0. Внутренний радиус области не убывает с расширением области: если области D, D1 имеют функции Грина g(z,z0), g1(z, z0) соответственно,
п если
то для внутренних радиусов r, r1 областей D, D1 в точке z0 справедливо неравенство
Внутренний радиус произвольной области Dв точке
определяется как точная верхняя граница множества внутренних радиусов в точке z0 всех областей, содержащих z0, содержащихся вид имеющих функцию Грина. В соответствии с этим определением, если область Dне обладает функцией Грина, то внутренний радиус r области Dв точке
равен
Лит.:[1] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [2] Смирнов В. И., Лебедев Н. А., Конструктивная теория функций комплексного переменного, М.- Л., 1964; [3] Хейман В. К., Многолистные функции, пер. с англ., М., 1960.
Г. В. Кузьмина.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.