- КОНФОРМНО-ИНВАРИАНТНАЯ МЕТРИКА
на римановой поверхности R- правило, к-рое каждому локальному параметру z, отображающему параметрич. окрестность
в замкнутую комплексную плоскость
ставит в соответствие действительную функцию
такую, что для всяких локальных параметров z1 :
и z2 :
с непустым пересечением
в последнем выполнено соотношение
где z(U)- образ Uв
при отображении z. К.-и. м. часто обозначается символом p(z)|dz|, к-рому приписывается указанная инвариантность относительно выбора локального параметра z.
Всякий линейный дифференциал k(z) dz или квадратичный дифференциал Q(z) dz2 порождает К.-и. м. соответственно |l(z)|-|dz| или
Понятие
К.-и. м. позволяет ввести понятие длины для кривых на R, а также понятия экстремальной длины и модуля семейств кривых, являющиеся весьма общей формой определения конформных инвариантов (см. Экстремальной метрики метод, а также [1]). Определение К.-и. м. может быть перенесено на римановы многообразия любой размерности.
Лит.:[1] Дженкинс Дж., Однолистные функции и конформные отображения, пер. с англ., М., 1962; [2] Шиффер М., Спенсер Д. К., Функционалы на конечных римановых поверхностях, пер. с англ., М., 1957; [3] Альфорс Л., Берс Л., Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения, пер. с англ., М., 1961.
П. М. Тамразов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.