КОГОМОЛОГИИ


КОГОМОЛОГИИ

- термин, употребляемый по отношению к функторам гомологической природы, которые, в отличие от гомологии, как правило, контравариантно зависят от объектов основной категории, на которой они определены. В отличие от гомологии, связывающие гомоморфизмы в когомологической точной последовательности повышают размерность. В типичных ситуациях когомологии возникают одновременно с соответствующими гомологиями.

Е. Г. Скляренко.

Когомологии топологического пространства - градуированная группа

которая ставится в соответствие топологич. пространству и абелевой группе G. Понятие К. двойственно понятию гомологии (см. Гомологии теория, Гомологии группа, Александрова- Чеха гомологии и когомологии). Если G- кольцо, то в группе Н*(X, G )определено естественное умножение (произведение Колмогорова - Алекса н дера или U-п роизведение), превращающее эту группу в градуированное кольцо (кольцокогомологий). В случае, когда X- дифференцируемое многообразие, кольцо когомологий Н*(X, R )может быть вычислено при помощи дифференциальных форм на X(см. де Рама теорема).

Когомологий со значениями в пучке абелевых групп - обобщение обычных когомологий топологич. пространств. Имеются две теории когомологий со значениями (или с коэффициентами) в пучках абелевых групп: когомологий Чеха и когомологий Гротендика.

Когомологий Чеха. Пусть X- топологич. пространство, - пучок абелевых групп на X, - открытое покрытие пространства X.n-мерной коцепью покрытия наз. отображение f, к-рое всякому упорядоченному набору такому, что

сопоставляет сечение fi0...in пучка Fнад Ui0...in . Множество всех re-мерных коцепей является абелевой группой относительно сложения. Кограничный оператор

определяется следующим образом:

где символ означает, что соответствующий индекс опускается.

Последовательность

является комплексом (комплекс Чеха). Когомологий этого комплекса обозначаются и наз. когомологиями Чеха покрытия со значениями в Группа совпадает с группой сечений пучка F. При вычислении этих когомологий комплекс Чеха можно заменить его подкомплексом, состоящим из альтернированных коцепей, т. е. коцепей, меняющих знак при перестановке двух индексов и равных 0 в случае, когда два индекса совпадают.

Если покрытие вписано в т. е. для каждого указано так, что то определен канонический гомоморфизм Н п Н п ( ), не зависящий от вписывания т. n-мерная группа когомологий Чеха пространства Xсо значениями в определяется формулой:

где индуктивный предел берется по направленному (по отношению вписанности) множеству классов открытых покрытий (два покрытия эквивалентны тогда и только тогда, когда каждое из них можно вписать в другое). Определение когомологий Чеха применимо и к предпучкам.

Недостатком когомологий Чеха является то, что они (для непаракомпактных пространств) не образуют когомологич. функтора (см. Гомологический функтор). В случае, когда - постоянный пучок, соответствующий абелевой группе группы совпадают с когомологиями Александрова - Чеха с коэффициентами в группе

Когомологии Гротеидика. Рассматривается функтор из категории пучков абелевых групп на Xв категорию абелевых групп. Правые производные этого функтора наз. n-мерными группами когомологий Гротендика со значениями впучке и обозначаются n=0, 1,... . Точной последовательности пучков абелевых групп

соответствует точная последовательность

т. е. образуют когомологич. функтор. При этом Если- вя лый пучок, то Эти три свойства когомологий Гротендика характеризуют функтор однозначно с точностью до изоморфизма.

Для вычисления когомологий Гротендика пучка можно воспользоваться левой резольвентой пучка состоящей из пучков, когомологий Гротендика к-рых равны 0 в положительных размерностях. Напр., на произвольных топологич. пространствах можно взять резольвенту из вялых пучков, а на паракомпактных пространствах - из мягкий пучков или из тонких пучков.

Когомологий Гротендика связаны с когомологиями покрытий следующим образом. Пусть -открытое покрытие пространства X. Тогда существует спектральная последовательность сходящаяся к и такая, что где - предпучок, сопоставляющий открытому множеству группу Если когомологий всех со значениями в равны 0 в положительных размерностях, то последовательность вырождается и (теорема Лере). В общем случае спектральная последовательность определяет функторный гомоморфизм и, после перехода к пределу,- функторный гомоморфизм

Последний гомоморфизм биективен для n=0, 1, инъективен (но, вообще говоря, не сюръективен) для n=2 и биективен для всех п, если Xпаракомпактно. Таким образом, для паракомпактного пространства X

Обобщением определенных выше групп когомологий являются группы когомологий с носителями в семействе Ф. Семейство Ф замкнутых подмножеств пространства Xназ. семейством носителей, если 1) замкнутое подмножество любого множества из Ф принадлежит Ф; 2) объединение любых двух подмножеств из Ф лежит в Ф. Группы определяются как правые производные функтора где Г Ф (Х, - группа сечений пучка носители к-рых лежат в Ф. Они образуют когомологич. функтор.

Если Ф - семейство всех замкнутых множеств, то Другой важный частный случай: Ф = с - семейство всех компактных подмножеств. Группы наз. группами когомоло-

гий с компактными носителями. В случае, когда F- пучок колец, в группе

естественным образом определяется умножение, превращающее ее в градуированное кольцо (кольцо когомологий). При этом ассоциативность в пучке влечет за собой ассоциативность умножения в Н*(X, а пучок коммутативных колец или колец Ли приводит к градуированно-коммутативному кольцу или градуированному кольцу Ли когомологий соответственно. Если - пучок модулей над пучком колец то являются модулями над кольцом О когомологиях со значениями в пучке неабелевых групп см. Неабелевы когомологий.

Лит.:[1] Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер. с франц., М., 1961; [2] Годеман Р., Алгебраическая топология и теория пучков, пер. с франц., М., 1961; [3] Серр Ж.-П., в сб.: Расслоенные пространства, М., 1958, с. 372-450.

Д. А. Пономарев.

Когомологий пространства с операторами - когомологические инварианты топологич. пространства с заданным на нем действием группы. Пусть группа G действует на пространстве X, причем для каждого отображение является гомеоморфизмом тогда G-пучком абелевых групп на X наз. пучок абелевых групп на Xвместе с заданным на нем действием группы G, к-рое непрерывно, согласовано с действием на Xи изоморфно отображает слои пучка друг на друга. В группе сечений G-пучка (и вообще в группах когомологий определена естественная структура G-модуля. G-пучки абелевых групп на Xобразуют абелову категорию, всякий объект к-рой вкладывается в инъективный объект. Функтор из этой категории в категорию абелевых групп, где - группа G-инвариантных сечений G-пучка обладает правыми производными

функторами (n=0, 1, 2, ...), где

составляющими когомологич. функтор. Группы играют основную роль в изучении связи между когомологиями пространства X, факторпространства Y= X/G и группы G. Существует спектральная последовательность { Е r}со вторым членом сходящаяся к Пусть - пучок инвариантов прямого образа - естественная проекция), рассматриваемого как G-пучок на пространстве Y, на к-ром G действует тривиально. Если Gдействует на Xсобственно разрывно (см. Дискретная группа преобразований) и свободно, то (см. [1]). В частности, если А- некоторый G-модуль, то постоянный пучок на Xобладает естественной структурой G-пучка, а пучок на Yбудет локально постоянным. В этом случае спектральная последовательность r} удовлетворяет условию и сходится к (спектральная последовательность накрытия). Если при этом Xсвязно и Н q( Х, А)=0 для q>0, то что дает топологич. интерпретацию когомологий группы G [2]. Если G собственно разрывна и Yпаракомпактно, то группы можно вычислять аналогично когомологиям Чеха при помощи G-инвариантных покрытий пространства X(см. [1]).

В случае, когда G - группа Ли, дифференцируемо и свободно действующая на дифференцируемом многообразии X, причем X/G- дифференцируемое многообразие, известен аналог r} спектральной последовательности накрытия [3]. Последовательность сходится к когомологиям комплекса G-инвариантных дифференциальных форм на X и =где когомологии группы Gвычисляются при помощи коцепей класса

См. также Когомологии групп, Эквиеариаптные когомологии.

Лит.:[1]Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер. с франц., М., 1961; [2] Картан А., Эйленберг С., Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [3] van Est W. Т., "Proc. Nederl. Akad. Wetensch. Ser. A", 1958, v. 61, p. 399-413.

А. Л. Онищик, Д. А. Пономарев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "КОГОМОЛОГИИ" в других словарях:

  • Когомологии — Гомология  одно из основных понятий алгебраической топологии. Замкнутая линия гомологична нулю, если она ограничивает кусок поверхности, который отделяется от неё, если мы произведём разрез по этой линии. Например, на сфере любая замкнутая линия… …   Википедия

  • Когомологии де Рама — Когомологии де Рама  теория когомологий, основанная на дифференциальных формах, и применяемая в теориях гладких и алгебраических многообразий. Названы в честь швейцарского математика де Рама. мерная группа когомологий де Рама многообразия… …   Википедия

  • КОГОМОЛОГИИ АЛГЕБР — группы (см. ФункторExt), где D ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом Кс фиксированным гомоморфизмом K алгебр позволяющим рассматривать кольцо Ккак Л модуль, a А есть R модуль. Это определение охватывает наиболее распространенные теории… …   Математическая энциклопедия

  • КОГОМОЛОГИИ КОМПЛЕКСА — см. Гомологии комплекса …   Математическая энциклопедия

  • НЕАБЕЛЕВЫ КОГОМОЛОГИИ — когомологии со значениями в неабелевой группе, пучке неабелевых групп и т. д. Наиболее известные примеры Н. к. это когомологии групп, топологич. пространств и, более обще, топологизированных категорий в размерностях 0, 1. Единый подход к Н. к.… …   Математическая энциклопедия

  • ЧЕХА КОГОМОЛОГИИ — когомологии Александрова Чеха, спектральные когомологии, прямой предел когомологии с коэффициентами в абелевой группе Gнервов всевозможных открытых покрытий топологич. пространства X. Когомологни замкнутого подмножества могут быть определены… …   Математическая энциклопедия

  • ГАЛУА КОГОМОЛОГИИ — когомологии Галуа группы. Если М абелева группа и группа Галуа расширения , действующая на М, то когомологии Галуа есть группы когомологии определяемые комплексом состоит из всех отображений , a d кограничный оператор (см. Когомологии групп).… …   Математическая энциклопедия

  • ЭТАЛЬНЫЕ КОГОМОЛОГИИ — когомологии пучков в эталъной топологии. Они определяются стандартным образом при помощи производных функторов. А именно, пусть X схема и Xet этальная топология на X. Тогда категория пучков абелевых групп на Xet является абелевой категорией с… …   Математическая энциклопедия

  • ВЕЙЛЯ КОГОМОЛОГИИ — когомологии алгебраич. многообразий с коэффициентами в поле нулевой характеристики, обладающие формальными свойствами, необходимыми для получения Лефшеца формулы для числа неподвижных точек. Необходимость такой теории была высказана А. Вейлем [1] …   Математическая энциклопедия

  • ЭКВИВАРИАНТНЫЕ КОГОМОЛОГИИ — когомологии, учитывающие действие нек рой группы. Подробнее, Э. к. в категории G пространств (т …   Математическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «КОГОМОЛОГИИ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.