- КИЛЛИНГА ФОРМА
- билинейная форма специального вида на конечномерной алгебре Ли, введенная В. Киллингом [1]. Пусть
- конечномерная алгебра Ли над полем k. К. ф. на алгебре
наз. билинейная форма
где tr обозначает след линейного оператора, a ad x- образ хпри присоединенном представлении алгебры
т. е: линейный оператор на векторном пространстве
определенный правилом
- операция коммутирования в алгебре Ли
К. ф. симметрична. Операторы adx,
кососимметричны относительно К. ф., т. е.
Если
- идеал алгебры
то сужение К. ф. на
совпадает с К. ф. алгебры
Всякий коммутативный идеал
содержится в ядре К. ф. Если К. ф. невырождена, то алгебра
полупроста.
Пусть характеристика поля кравна 0. Радикал алгебры
совпадает с ортогональным дополнением относительно К. ф. к производной подалгебре
=
. Алгебра
разрешима тогда и только тогда, когда
т. е. когда B([ х, у],z) = 0 для всех х, у,
(критерий разрешимости Картана). Если алгебра
нильпотентна, то В( х, y) = 0 для всех
Алгебра полупроста
тогда и только тогда, когда К. ф. невырождена (критерий полупростоты Картана).
Каждая комплексная полупростая алгебра Ли содержит вещественную форму Г (компактную форму Вейля) (см. Комплексификация алгебры Ли), на к-рой К. ф. отрицательно определена.
Лит.:[1] Killing W., "Math. Ann.", 1888, Bd 31, S. 252-90; 1889, Bd 33, S. 1 - 48; 1889, Bd 34, S. 57 - 122; 1890, Bd 36, S. 161-89; [2] Картан Э., Геометрия групп Ли и симметрические пространства, пер. с франц., М., 1949, с. 259-261; [3] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли, пер. с франц., М., 1976; [4] Капланский II., Алгебры Ли и локально компактные группы, пер. с англ., М., 1974; [5] Наймарк М. А., Теория представлений групп, М., 1976.
Д. П. Желобенко.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.