- КАЗИМИРА ЭЛЕМЕНТ
оператор Казимира,- центральный элемент специального вида в универсальной обертывающей алгебре полупростой алгебры Ли. Такие операторы в одном частном случае были впервые введены X. Казимиром [1].
Пусть
- полупростая конечномерная алгебра Ли над полем характеристики 0, В- билинейная симметричная инвариантная (т. е. В([ х, у], z) = B(x,[ у, z]) для всех 
) форма на 
невырожденная на идеале 
К. э. алгебры 
(относительно формы В)наз. элемент универсальной обертывающей алгебры 
представимый в виде
где {е i},{fi} - дуальные базисы
относительно формы В, т. е. В( е i, fi)=dij, i=1, ..., l,dij - символ Кронекера, 
Элемент bне зависит от выбора дуальных базисов в 
и содержится в центре 
Если алгебра 
проста, то К. э. алгебры 
определяемый Киллинга формой в В, является единственным, с точностью до числового множителя, центральным элементом в 
представимым в виде однородного квадратичного полинома от элементов алгебры 
Каждое линейное представление j полупростой алгебры
в конечномерном пространстве Vопределяет билинейную симметрическую инвариантную форму
на
невырожденную на идеале 
дополнительном к kеr j, и тем самым нек-рый К. э.
Если j неприводимо, то продолжение представления j на 
переводит bj в 
Лит.:[1] Casimir H., van der Warden В. L., "Math. Ann.", 1935, Bd 111, S. 1 - 12; [2] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли, пер. с франц., М., 1976; [Я] Серр Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц., М., 1969; [4] Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [5] Наймарк М. А., Теория представлений групп, М., 1976; [6] Dixmier J., Algebres enveloppantes, P., 1974.
Д. П. Желобенко.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
