КВАТЕРНИОН

КВАТЕРНИОН

- гиперкомплексное число, геометрически реализуемое в четырехмерном пространстве. Система К. предложена в 1843 У. Гамильтоном (W. Hamilton). К. явились исторически первым примером гицеркомплексной системы, возникшей при попытках найти обобщение комплексных чисел. Комплексные числа изображаются геометрически точками плоскости, и действия над ними соответствуют простейшим геометрич. преобразованиям плоскости. Из точек пространства трех и выше измерений нельзя "устроить" числовую систему, подобную полю действительных или комплексных чисел. Однако, если отказаться от коммутативности умножения, то из точек 4-мерного пространства можно устроить числовую систему (в пространстве трех, пяти и выше измерений нельзя построить даже такую систему).

К. образуют 4-мерную алгебру над полем действительных чисел с базой 1, i, j, k("базисные единицы") и следующей таблицей умножения "базисных единиц":

1Х1 =1

i = i

1 Хj = j

1 Хk = k

iХ1 = i

i = -1

iХj = k

iХk =-j

1 = j

j Хj=-k

jХj =-1

k=i

1 = k

i=j

kХj = -i

k Хk= -1.

Всякий К. может быть записан в виде

или (поскольку 1 играет роль обычной единицы и в записи К. может быть опущена) в виде

Различаются скалярная часть К. х 0 и векторная часть

так что X=x0+V. Если х 0=0, то кватернион Vназ. вектором, и он может отождествляться с обычным 3-мерным вектором, поскольку умножение в алгебре К. двух таких векторов V1 и V2 связано со скалярным (V1, V2) и векторным [V1, V2]произведениями векторов Vx и V2 в 3-мерном пространстве формулой

Это прказывает тесную связь К. с векторным исчислением. Исторически последнее и возникло из теории К. Всякому К. X=x0+V сопоставляется сопряженный кватернион Х=х 0-V, при этом

Это действительное число наз. нормой кватерниона Xи обозначается N(X). Норма К. удовлетворяет соотношению

Любое вращение 3-мерного пространства вокруг начала координат может быть задано при помощи кватерниона Рс нормой 1. Вращение, соответствующее Р, переводит вектор X = x1i+x2j+x3k в вектор Y=y1i+ у 2j+у 3k=РХР-1.

Алгебра К. является единственной ассоциативной, но не коммутативной, конечномерной нормированной алгеброй над полем действительных чисел, обладающей единицей. Алгебра К.- тело, т. е. в ней определено деление, причем К., обратным к К. X, является X. Тело К. единственная конечномерная действительная ассоциативная, но не коммутативная алгебра без делителей нуля (см. также Фробениуса теорема).

Лит.:[1] Калужнин Л. А., Введение в общую алгебру, М., 1973; [2] Кантор И. Л., Солодовников А. С, Гиперкомплексные числа, М., 1973; [3] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973.

Н. Н. Вильямс.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужна курсовая?
Синонимы:

Полезное


Смотреть что такое "КВАТЕРНИОН" в других словарях:

  • КВАТЕРНИОН — (от лат. quaterni по четыре) обобщение понятия комплексного числа. Кватернион имеет вид: a+bi+cj+dk, где a, b, c, d действительные числа, а i, j, k три специальные единицы, аналогичные мнимой единице. Для кватерниона справедливы все основные… …   Большой Энциклопедический словарь

  • КВАТЕРНИОН — (греч.). Четырехчленное выражение, получаемое от умножения двух векторов. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910 …   Словарь иностранных слов русского языка

  • кватернион — сущ., кол во синонимов: 1 • число (51) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 …   Словарь синонимов

  • кватернион — а, м. quaternion m., нем. Quaternionen.<лат. quaterni по четыре. мат. Гиперкомплексные числа более общая, чем комплексныя числа, система чисел, содержащая четыре единицы, для которых справедливы все основные законы действий, кроме… …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • Кватернион — Кватернионы (от лат. quaterni, по четыре)  система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Кватернионы  минимальное расширение комплексных чисел, образующее тело,… …   Википедия

  • кватернион — (от лат. quaterni  по четыре), обобщение понятия комплексного числа. Кватернион имеет вид: а + bi + cj + dk, где а, b, c, d  действительные числа, а i, j, k  три специальных единицы, аналогичные мнимой единице. Для кватерниона справедливы все… …   Энциклопедический словарь

  • Кватернион — Исчисление К., основанное Вильямом Ровэном Гамильтоном (см.), представляет собою теорию векторов (см.), основанную на выражении вектора тричленом вида xi + yj + zk, в котором x, y, z суть величины проекций вектора на ортогональные оси координат,… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • кватернион — кватернион, кватернионы, кватерниона, кватернионов, кватерниону, кватернионам, кватернион, кватернионы, кватернионом, кватернионами, кватернионе, кватернионах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») …   Формы слов

  • КВАТЕРНИОН — (от лат. quatеrni по четыре), обобщение понятия комплексного числа. К. имеет вид: a +bi + cj + dk, где а, b, с, d действит. числа, а i,j,k три спец. единицы, аналогичные мнимой единице. Для К. справедливы все осн. законы действии, кроме… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Кватернион — (от лат. quaterni по четыре) листы пергамена, сложенные пополам и сброшюрованные в тетради по четыре таких листа. В дальнейшем так стали называть всякую тетрадь, независимо от числа листов в ней. Затем из к. составляли рукописную книгу …   Средневековый мир в терминах, именах и названиях


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»