АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ

функции- доопределение функции f₀, определенной на нек-ром подмножестве Екомплексного многообразия М, до функции f, голоморфной в нек-рой области , содержащей Е, такое, что сужение функции f на Есовпадает с . Отправным в теории А. п. является понятие (аналитического) элемента, т. е. пары , где - область на Ми f - голоморфная в Dфункция. Говорят, что элементы составляют непосредственное А. п. друг друга через связную компоненту множества если Элемент , по определению, аналитически продолжается в граничную точку если существует непосредственное_А. п. элемента через такое, что Максимальным (в М).А. п. наз. элемент (D,/), аналитически продолжающий в область но не продолжаемый аналитически ни в одну граничную точку D. Максимальное А. п. в Мединственно, но не всегда существует. Для устранения этого недостатка вводятся области наложения над М(римановы поверхности в случае ), к-рые строятся из элементов, аналитически продолжающих Элемент наз. А. п. элемента , если существует конечный набор элементов и связных компонент А,- соответственно в таких, что являются непосредственными А. п. друг друга через Д,-. Говорят, что голоморфная функция , определенная первоначально в области , аналитически продолжается в точку , если существует А. п. элемента такое, что . Среди элементов, продолжающих в точку z, вводится отношение эквивалентности: , если в окрестности z. На Множестве классов эквивалентности (для всех возможных z) естественно вводится топология и комплексная структура области наложения над М. Функция естественно поднимается в (значение на классе эквивалентности в z, содержащем , полагаем равным ), аналитически продолжается на всю D f и в определенном смысле не продолжается ни в одну граничную точку над .

В случае, когда есть комплексная плоскость или, более общо, комплексное пространство , , этот процесс А. п. описывается проще. Каноническим элементом наз. пара , где - степенной ряд с центром в точке ас непустой областью сходимости D_a. Канонич. элемент вдоль пути если существует семейство канонич. элементов , с центрами таких, что и для каждого элементы являются непосредственными А. п. для всех t, достаточно близких к . Семейство на самом деле определяется однозначно. Если , , есть непрерывное семейство путей в с общими концами аи b и если аналитически продолжается вдоль каждого , то результат не зависит от (монодромии теорема). Точками в случае являются канонич. элементы получаемые посредством А. п. вдоль всевозможных путей в ; поднимается в аналитически на всю до голоморфной функции , причем есть область голоморфности .

Описанный общий процесс А. п. практически малоэффективен, поэтому в анализе используется много специальных методов А. п. Сюда относятся различные аиалитич. представления: интегралы, зависящие от параметра [интеграл типа Коши (см. Коши интеграл), Лапласа интеграл, интеграл Бореля (см. Бореля преобразование).и др.], замена переменного в степенном ряде, специальные способы суммирования степенных рядов [разложение Бореля в ряд многочленов, сходящийся в максимальном полигоне (см. Бореля метод суммирования), ряд Миттаг-Леффлера, сходящийся в максимальной звезде (см. Звезда элемента функции, Миттаг-Леффлера метод суммирования).и др.], принцип симметрии Римана - Шварца (см. Римана- Шварца принцип), функциональные и дифференциальные уравнения, определяющие функцию (напр., уравнение для гамма-функции, условия периодичности, четности, симметрии и т. п.), аналитич. выражения через известные функции.

К теме А. п. относятся также исследования о связи между исходным элементом аналитич. функции (рядом Тейлора) и свойствами полной аналитической функции, порождаемой этим элементом (см. [1]); результаты об особых точках (критерии особых точек, Адамара теорема мультипликационная, Фабри теорема об отношении) и особых линиях (теоремы о лакунах и непродолжаемости за границу круга сходимости, напр. Адамара теорема о лакунах, Фабри теорема о лакунах и др.), теоремы о сверхсходимости и о связях А. п. степенного ряда со свойствами целой функции, определяющей его коэффициенты, вопросы мероморфного продолжения, мероморфное продолжение при помощи Паде аппроксимаций и др. К А. п. следует отнести и теоремы об устранении особенностей (устранение изолированной особенности ограниченной голоморфной функции, устранение спрямляемых разрезов при условии непрерывности и т. п.), а также большой класс теорем об одновременном продолжении голоморфных функций многих комплексных переменных. В при имеются области, из к-рых любая голоморфная функция продолжается в более широкую область (в одномерном случае такого явления нет). Поэтому важной задачей А. п. функций многих комплексных переменных является описание этих более широких областей - так наз. голоморфных расширений, напр, известны описания голоморфности оболочек для Гартогса областей, л-круговых и трубчатых областей, теоремы об устранении компактных особенностей и особенностей коразмерности Боголюбова теорема"острие клина" н теорема В. С. Владимирова о С-выпуклой оболочке (см. [3]). Известно несколько эффективных методов построения голоморфного расширения областей (см. [3]).

А. п. функций действительного переменного сводится к А. п. голоморфных функций, т. к. для любой области и любой функции , аналитической в , найдутся область и голоморфная в функция такие, что

Лит.:[1] Бибербах Л., Аналитическое продолжение, пер. с нем., М., 1967; [2] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; [3] Владимиров В С Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964. Е. М. Чирка.