КАРТАНА МАТРИЦА

-1) К. <м. конечномерной полупростой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем кхарактеристики 0 - матрица

где a₁,..., a_r - какая-либо система простых корней алгебры g относительно фиксированной Картана подалгебрыt, а .( , ) - скалярное произведение на пространстве, дуальном к t, определенное Киллинга формой на д. (О К. м. произвольной системы корней см. Корневая система. )С точностью до преобразования, индуцированного перестановкой индексов 1,. . ., r, К. м. является инвариантом алгебры Д, т. е. не зависит от выбора t и системы простых корней. Этот инвариант полдрстью определяет д: две полупростые алгебры Ли изоморфны тогда и только тогда, когда их К. м. совпадают, с точностью до преобразования, индуцированного перестановкой индексов. Полупростая алгебра Ли проста тогда и только тогда, когда ее К. м. неразложима, т. е. не представима в виде блочно-диагональной матрицы после нек-рой перестановки индексов. Пусть - разложение алгебры g в прямую сумму простых идеалов и А _j- К. м. простой алгебры Ли g_j. Тогда блочно-диагональная матрица

является К. м. алгебры Ли g (явный вид К. м. простых алгебр Ли см. Ли полупростая алгебра).

Элементы a_ij=2(a_i, a_j)/(a_j, a_j) К. <м. обладают следующими свойствами:

К. м. тесно связаны с заданием g образующими и соотношениями. А именно, в алгебре g существуют линейно независимые образующие е _i, f_i, h_i,i=l,..., r (так наз. канонические образующие), связанные следующими соотношениями:

Любые две системы канонических образующих переводятся друг в друга автоморфизмом алгебры д. Кроме (2), канонические образующие удовлетворяют также соотношениям

где, по определению, (ad х) у=[ х, у]. Соотношения (2) и (3) являются определяющими для алгебры g при выбранной системе образующих е _i, f_i, h_i, i=1,..., r (см. [2]).

Для любой матрицы А, удовлетворяющей условиям (1), алгебра Ли (А)над полем кс образующими е _i, f_i, h_i, i=1,..., rи определяющими соотношениями (2) и (3) конечномерна тогда и только тогда, когда Аесть К. м. конечномерной полупростой алгебры Ли [3].

Лит.:[1] Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [2] Серр Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц., М., 1969; [3] Кац В. Г., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1968, т. 32, №6, с. 1323-67.

2) К. м. конечномерной ассоциативной алгебры Ас единицей над полем к- матрица ( с _ij), i, j=1,..., s, определяемая полным набором N₁,. .., N_s конечномерных неприводимых левых А-модулей. А именно, с _ij есть кратность вхождения N_j в композиционный ряд такого неразложимого проективного левого А-модуля Р _i, для к-рого Hom ( Р _i, N_i) неравно 0. Модуль Р _i существует для каждого N_i и определен однозначно с точностью до изоморфизма. В некоторых случаях К. м. Соказывается симметричной, положительно определенной и даже C=D^TD, где D- целочисленная, не обязательно квадратная матрица (Т - знак транспонирования). Такова К. м. групповой алгебры A = kG конечной группы Gнад полем кхарактеристики р>0 (см. [1]), причем Р ₁,. . ., P_s в этом случае - полный набор неизоморфных главных неразложимых левых A -модулей, т. е. неразложимых А-модулей, в прямую сумму к-рых раскладывается левый A-модуль А. Другой пример, когда такое равенство для К. м. имеет место: А- ограниченная универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики р>0, полученной из полупростой комплексной алгебры Ли редукцией в характеристику р(см. [2]).

Лит.:[1] Кэртис Ч., Райнес И., Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер. с англ., М., 1969; [2] Humphreys J. E., "J. Algebra", 1971, v. 19, p. 51 - 79.

В. Л. Попов.