ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

- уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаками дифференциальных и интегральных операций. И.-д. у. включают и интегральные и дифференциальные уравнения.

Линейные И.-д. у. Пусть f(x) - заданная функция,

- дифференциальные выражения с достаточно гладкими коэффициентами p_i(x)и q_i(y)на [ а, b], a K(x, у)- известная функция, достаточно гладкая в квадрате [а, b][ а, b]. Уравнение вида

наз. линейным И.-д. у.; здесь X- параметр. Если в И.-д. у. (1) функция при у>х, то уравнение (1) наз. И.-д. у. с переменным пределом интегрирования: его можно записать в форме:

Для И.-д. у. (1) или (2) можно ставить задачу Коши (ищется решение, удовлетворяющее условиям U⁽ⁱ⁾a=c_i, i=0, 1,. . ., l-1, где с _i - заданные числа, l- порядок выражения L_x[U], а и различные граничные задачи (напр., задачу о периодических решениях). В ряде случаев (см. [3] - [4]) задачи для (1) или (2) можно упростить или даже свести соответственно к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода или уравнениям Вольтерра. Вместе с тем для И.-д. ,у. возможен ряд специфич. явлений, не характерных ни для дифференциальных, ни для интегральных уравнений. Простейшее нелинейное И.-д. у. имеет вид:

К исследованию этого уравнения применимы метод сжатых изображений, принцип Шаудера и другие методы нелинейного анализа.

Для И.-д. у. изучаются вопросы устойчивости решений, разложения по собственным функциям, асимптотика по малому параметру и др. В приложениях встречаются также И.-д. у. с частными производными и с кратными интегралами. Таковы, напр., уравнение Больцмана, уравнение Колмогорова - Феллера.

Лит.:[1] Volterra V., Leсons sur les equations integrales et les equations integrodifferentielles, P., 1913; [2] его же, Математическая теория борьбы за существование, пер. с франц., М., 1976; [3] Быков Я. В., О некоторых задачах теории интегро-дифференциальных уравнений, Фр., 1957; [4] Вайнберг М. М., в кн.: Итоги науки. Математический анализ. Теория вероятностей. Регулирование. 1962, М., 1964, с. 5-37; [5] Филатов А. Н., Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, Таш., 1974.

В. А. Треногий.