ДАРБУ СУММА

- сумма специального вида. Пусть действительная функция f(x)определена и ограничена на отрезке [ а, b],- его разбиение:

Суммы

наз. соответственно нижней и верхней интегральной Д. с. Для любых двух разбиений t и t' отрезка [ а, b]справедливо неравенство т. е. любая нижняя Д. с. меньше верхней. Если

- интегральная сумма Римана, то

Геометрич. смысл нижней и верхней Д. с. заключается в том, что они равны площадям ступенчатых фигур, состоящих из прямоугольников с основаниями длины D х _i и высотами соответственно m_i и M_i (см. рис.). Эти фигуры в случае, когда аппроксимируют изнутри и извне криволинейную трапецию, образованную графиком функции f(x), осью абсцисс и отрезками прямых х=а и х=b (которые могут вырождаться в точки). Величины

(1)

наз. соответственно нижним и верхним интегралом Дарбу. Они являются пределами нижних и верхних Д. с:

где

- мелкость разбиения т. Условие

является необходимым и достаточным для того, чтобы функция f(x)была интегрируема по Риману на отрезке [ а, b]. При этом в случае выполнения условия (2) значение нижнего и верхнего интегралов Дарбу совпадает с интегралом Римана

Условие (2) с помощью Д. с. может быть сформулировано в следующей эквивалентной форме: для любого е>0 существует такое разбиение т, что

Условие

также является необходимым и достаточным для интегрируемости по Риману функции на отрезке [ а, b]. При этом

где w_i(f) - колебание функции f(x)на отрезке

Понятие нижних и верхних Д. с. обобщается на случай функций многих переменных, измеримых в смысле нек-рой положительной меры m. Пусть Е- измеримое (напр., по Жордану или по Лебегу) множество n-мерного пространства n=1, 2, ..., разбиение множества Е, т. е. система таких измеримых множеств Е, что

Пусть функция f ограничена на множестве Е,

Суммы

также наз. нижней и, соответственно, верхней Д. с. Нижний I_* и верхний I* интегралы определяются по формулам (1). В случае меры Жордана их равенство является необходимым и достаточным условием интегрируемости функции по Риману, причем их общее значение совпадает с интегралом Римана. В случае же меры Лебега для ограниченных измеримых по Лебегу функций всегда

Вообще, если и. - полная 0-аддитивная мера, определенная на s-алгебре f - ограниченная m-измеримая на Едействительная функция, разбиение множества на m-измеримые множества E_i, удовлетворяющие условиям (3), (4), Д. с. s_t. и S_t определяются по формулам (5) - (6), а интегралы I_* и I* - по формулам (1), в к-рых везде под m понимают рассматриваемую меру, то

Обобщением Д. с. для неограниченных m-измеримых функций f, определенных на множествах являются ряды (если они абсолютно сходятся)

где - разбиение множества (это разбиение состоит, вообще говоря, из бесконечного числа m-измеримых множеств Е _i, удовлетворяющих условию (4) и, конечно, таких, что а m_i и M_i определяются по формулам (5), при этом в формулах (7) (как и выше в формулах (6)) считается, что =0 =0. Если снова определить I_* и I* по (1), понимая теперь s_t и S_t. в смысле (7), то I_* = I*, причем в случае, когда величина I=I_*=I* является конечной, функция f интегрируема по мере m и

Названы по имени Г. Дарбу [1].

Лит.:[1] Dаrbоuх G., "Ann. sci. Ecole Norm, super.", 1875, ser. 2, t. 4, p. 57 - 112; [2] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., т. 1-2, М., 1971-73; [3] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1-2, М., 1973; [4] Никольский СМ., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1-2, М., 1975.

Л. Д. Кудрявцев.