ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

- задачи нахождения аналитической в нек-рой области функции по заданному соотношению между граничными значениями ее действительной и мнимой частей. Впервые такая задача была поставлена в 1857 Б. Риманом (см. [1]). Д. Гильберт [2] исследовал граничную задачу в следующей постановке (задача Р и мана- Гильберта): найти функцию аналитическую в односвязной области с контуром , непрерывную в по граничному условию

где - заданные на Lдействительные непрерывные функции. Первоначально Д. Гильберт привел эту задачу к сингулярному интегральному уравнению с целью дать пример приложения такого уравнения.

Задача (1) может быть сведена к последовательному решению двух задач Дирихле. Полное исследование задачи, проведенное таким способом, имеется в [3].

Близкой к задаче (1) является задача, к к-рой пришел А. Пуанкаре [4] при разработке математич. теории приливов. Задача Пуанкаре состоит в определении гармонической в области функции по условию на границе Lэтой области:

где - заданные на Lдействительные функции, s- дуговая абсцисса, п- нормаль к L. Под обобщенной задачей Римана - Гильберта - Пуанкаре (задача Р.-Г.-П.) понимается следующая линейная граничная задача: найти функцию , аналитическую в , по граничному условию

где - интегро-дифференциальный оператор, определяемый формулой

в к-рой - заданные на L, вообще комплексные, функции класса Н(т. е. удовлетворяющие условию Гельдера), - заданная действительная функция класса Н, - заданные на L, вообще комплексные, функции вида

причем - функции класса Нпо обеим переменным. В правой части (4) под подразумевается граничное значение на Lизнутри области производной j-го порядка функции .

Частным случаем задачи Р.- Г.- П. при , является задача Римана - Гильберта; задача Пуанкаре также является частным случаем сформулированной задачи. К задаче Р.- Г.- П. приводятся многие важные граничные задачи, напр, граничные задачи для уравнений с частными производными эллиптич. типа с двумя независимыми переменными.

Задача Р.- Г.- П. была поставлена и в предположении, что и решена И. Н. Векуа [3].

В теории граничных задач важную роль играет понятие индекса задачи - целого числа, определяемого формулой где - приращение при однократном обходе контура в направлении, составляющем область слева.

Задача Р.- Г.- П. редуцируется к сингулярному интегральному уравнению вида

где - искомая действительная функция класса Н, с - искомая действительная постоянная, а

функции выражаются через и

Пусть и - числа линейно независимых решений соответствующего (5) однородного интегрального уравнения и союзного с ним однородного интегрального уравнения

Числа связаны с индексом х задачи Р.- Г.- П. равенством

Особый интерес представляет тот случай, когда задача разрешима при всякой правой части . Для того чтобы задача Р.- Г.- П. была разрешима при любой правой части , необходимо и достаточно, чтобы или , причем в последнем случае решение уравнения (6) должно удовлетворять условию

в обоих случаях и однородная задача имеет ровно линейно независимых решений. При задача Р.- Г.- П. разрешима при любой правой части тогда и только тогда, когда .

В случае задачи Римана - Гильберта имеют место следующие утверждения: 1) при неоднородная задача (1) разрешима при любой правой части и 2) при эта задача разрешима тогда и только тогда, когда ,

где

Задача Римана - Гильберта тесно связана с так наз. задачей линейного сопряжения. Если L - простая гладкая или кусочно гладкая линия, состоящая из замкнутых контуров, ограничивающих нек-рую область плоскости комплексного переменного остающуюся слева при обходе L, то дополнение до плоскости обозначается через . Пусть функция задана и непрерывна в окрестности линии Lвсюду, кроме, быть может, самой L. Говорят, что функция непрерывно продолжима на точку слева (или справа), если стремится к определенному пределу [или ], когда z стремится к г по любому пути, оставаясь слева (или справа) от L.

Функцию наз. кусочно аналитической с линией скачка L, если она аналитична в и и непрерывно продолжима на каждую точку как слева так и справа.

В задаче линейного сопряжения требуется определить кусочно аналитич. функцию с линией скачка L, имеющую конечный порядок на бесквнечности, по граничному условию

где и - заданные на функции класса Н. В предположении, что всюду на , целое число

наз. индексом задачи линейного сопряжения.

Когда - кусочно аналитический вектор, - квадратная -матрица и _ - вектор, причем целое число

наз. суммарным индексом задачи линейного сопряжения. Понятия индекса и суммарного индекса играют важную роль в теории задачи линейного сопряжения (см. [5], [6], [7], [8]). На базе теории задачи линейного сопряжения построена теория одномерных сингулярных интегральных уравнений вида (5).

Лит.:[1] Риман Б., Сочинения, пер. с нем., М.-Л., 1948; [2] Hilbert D., Grundzuge einer altgemeinen Theorie der linearen Integralgleiehungen, Lpz.-В., 1912; [3] Векуа И. <Н., "Тр. Тбил. матем. ин-та АН Груз. ССР", 1942, т. 11, с. 109-39; [4] Роinсаre Н., Lemons de mecanique celeste, t. 3, P., 1910, ch. 10; [5] Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; [6] Векуа Н. П., Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи, 2 изд., М., 1970; [7] Гахов Ф. Д., Краевые задачи, 2 изд., М., 1963; [8] Xведелидзе Б. В., "Тр. Тбил. матем. ин-та АН Груз. ССР", 1956, т. 23, с. 3-158.

А. В. Бицадзе.