Сингулярные интегральные уравнения

Сингулярные интегральные уравнения
        Интегральные уравнения с ядрами, обращающимися в бесконечность в области интегрирования так, что соответствующий несобственный интеграл, содержащий неизвестную функцию, расходится и заменяется своим главным значением по Коши. Примером С. и. у. может служить следующее уравнение с т. н. ядром Гильберта:
        решением которого является функция
         решением которого является функция
        ,
        ,
        
        ,
         где первый интеграл также понимается в смысле главного значения по Коши.
         Хорошо изученным общим классом С. и. у. являются уравнения с ядром Коши вида:
        , (*)
        , (*)
         где a (t), b (t), f (t) — заданные непрерывные функции точки t пути интегрирования L (который может состоять из конечного числа гладких самонепересекающихся замкнутых или незамкнутых кривых с непрерывной кривизной) в комплексной плоскости; сингулярный интеграл
        
        
         понимается как предел при ε → 0 интеграла Lε, который получается из L после удаления симметричной относительно точки t дуги длины 2ε. Ядро K (t, z) предполагается принадлежащим к одному из тех классов, которые рассматриваются в теории несингулярных интегральных уравнений. К С. и. у. вида (*) приводят многие задачи теории аналитических функций, теории упругости, гидродинамики и др.
         Исследование С. и. у. (*) опирается на свойства сингулярного интеграла Iφ, которые зависят от предположений, делаемых относительно φ. Подробно С. и. у. исследованы в пространстве непрерывных функций φ и в пространстве функций, интегрируемых с квадратом. Основное свойство сингулярного интеграла Iφ выражается равенством
         Многие результаты теории С. и. у. почти без изменений переносятся на системы С. и. у., которые можно записать в виде (*), если под а и b понимать матричные функции, а под f и φ — векторы (одноколонные матрицы). Теория обобщается также на случай системы С. и. у. с разрывными коэффициентами и кусочно-гладким путём интегрирования. Изучены также некоторые классы С. и. у. в многомерных областях.
         С. и. у. впервые (начало 20 в.) встретились в исследованиях А. Пуанкаре (по теории приливов) и Д. Гильберта (по краевым задачам). Ряд важных свойств С. и. у. установил нем. математик Ф. Нётер. Для разработки теории С. и. у. важное значение имели работы Т. Карлемана и И. И. Привалова. Наиболее полные результаты получены сов. учёными (Н. И. Мусхелишвили, И. Н. Векуа, В. Д. Купрадзе и др.).
         Лит.: Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике, 3 изд., М., 1968; Векуа Н. П., Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи, 2 изд., М., 1970.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Сингулярные интегральные уравнения" в других словарях:

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ — уравнение вида где F заданная действительная функция точки х=(xt, ..., х п )области Dевклидова пространства Е п, и действительных переменных (и(х) неизвестная функция) с неотрицательными целочисленными индексами i1 ,..., in, k=0, ..., т, по… …   Математическая энциклопедия

  • НЕФРЕДГОЛЬМОВО ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — интегральное уравнение, для к рого неверны те или иные Фредгольма теоремы. Иногда Н. и. у. наз. особым интегральным уравнением. Так, напр., интегральное уравнение Фурье имеет решение где а произвольное положительное число; собственному значению… …   Математическая энциклопедия

  • ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР — отображение когда закон соответствия Азадается с помощью интеграла. И. о. наз. иногда интегральным преобразованием. Так, напр., для интегрального оператора Урысона (см. Урысона уравнение): закон соответствия Аопределяется интегралом (или оператор …   Математическая энциклопедия

  • СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, содержащее искомую функцию под знаком несобственного интеграла в смысле главного значения по Коши. В зависимости от размерности многообразия, по к рому распространены интегралы, различают одномерные и многомерные С. и. у. По сравнению… …   Математическая энциклопедия

  • ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ — представление аналитич. функции в виде интеграла, зависящего от параметра. И. п. а. ф. возникли на ранних стадиях развития теории функций и математич. анализа вообще как удобный аппарат для обозримого представления аналитич. решений… …   Математическая энциклопедия

  • Мусхелишвили, Николай Иванович — [р. 4 (16) февр. 1891] сов. математик и механик, акад. (с 1939, чл. корр. с 1933). Чл. и президент АН Груз. ССР (с 1941). Герой Социалистического Труда (1945). Деп. Верх. Совета СССР 1 5 го созывов. Чл. КПСС с 1940. В 1914 окончил Петербург. ун т …   Большая биографическая энциклопедия

  • ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — ур ние, содержащее неизвестную ф цию под знаком интеграла. Их принято разделять на две большие группы: линейные и нелинейные И. у. Линейным И. у. наз. ур ние вида где А, К, f заданные ф ции, j неизвестная ф ция, D область евклидова пространства.… …   Физическая энциклопедия

  • ПУАНКАРЕ - БЕРТРАНА ФОРМУЛА — формула перестановки порядка интегрирования в повторных несобственных интегралах в смысле главного значения по Коши. Пусть Г простая замкнутая или разомкнутая гладкая линия на комплексной плоскости; j(t, t1).определенная на Г (вообще говоря,… …   Математическая энциклопедия

  • НОРМАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ — интегральных уравнений свойство линейного интегрального уравнения быть разрешимым тогда и только тогда, когда его правая часть ортогональна всем решениям соответствующего сопряженного однородного уравнения. При соответствующих условиях Н. р.… …   Математическая энциклопедия

  • Краевые задачи —         задачи, в которых из некоторого класса функций, определённых в данной области, требуется найти ту, которая удовлетворяет на границе (крае) этой области заданным условиям. Функции, описывающие конкретные явления природы (физические,… …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»