ИНЪЕКТИВНЫЙ МОДУЛЬ


ИНЪЕКТИВНЫЙ МОДУЛЬ

- инъективный объект в категории модулей над кольцом R, т. е. такой R-модуль Енад ассоциативным кольцом R с единицей, что для любых R-модулей М, N, для любого мономорфизма i: и для любого гомоморфизма f: найдется такой гомоморфизм g:что диаграмма коммутативна (все R-модули предполагаются правыми). Следующие условия на R-модуль Еравносильны его инъективности: 1) для любой точной последовательности

индуцированная последовательность

точна; 2) любая точная последовательность R-модулей, имеющая вид

расщепляется, т. е. подмодуль Im a=Кеr (5 выделяется в Мпрямым слагаемом; 3) для всех R-модулей С; 4) для сякого правого идеала I кольца R любой гомоморфизм R-модулей f: может быть продолжен до гомоморфизма R-модулей g: (критерий Бэра).

В категории R-модулей "достаточно много" инъективных объектов: каждый R-модуль Мможно вложить в И. м. Более того, каждый модуль Мсодержится в своей инъективной оболочке Е(М), то есть в И. м. Е(М), каждый ненулевой подмодуль к-рого имеет ненулевое пересечение с М. Любое вложение модуля Мв И. м. Епродолжается до вложения инъективной оболочки Е(М)в Е. Каждый R-модуль Мобладает инъективной резольвентой

т. е. точной последовательностью модулей, в к-рой все модули Ei,. инъективны. Длина самой короткой инъективной резольвенты наз. инъективной размерностью модуля (см. также Гомологическая размерность).

Прямое произведение И. м. есть И. м. Инъективный модуль Еравен Е r для любого элемента не являющегося левым делителем нуля в R, т. е. И. м.- делимый модуль. В частности, абелева группа является И. <м. над кольцом Zтогда и только тогда, когда она делимая. Над коммутативным нётеровым кольцом R каждый И. м.- прямая сумма инъективных оболочек модулей вида R/P, где Р- простой идеал кольца R.

И. м. широко используются при описании различных классов колец (см. Гомологическая классификация колец). Так, все модули над кольцом инъективны тогда и только тогда, когда кольцо классически полупросто. Равносильны условия: R - нётерово справа кольцо; любая прямая сумма инъективных R-модулей инъективна; любой инъективный R-модуль разлагается в прямую сумму неразложимых R-модулей. Артиновость справа кольца R равносильна тому, что каждый И. м. является прямой суммой инъективных оболочек простых модулей. Наследственность справа кольца равносильна инъективности всех фактормодулей инъективных R-модулей, а также тому, что сумма двух инъективных подмодулей в произвольном R-модуле инъективна. Если кольцо R наследственно справа и нётерово справа, то каждый R-модуль содержит наибольший инъективный подмодуль. Проективность (инъективность) всех инъективных (проективных) R-модулей эквивалентна тому, что R является квазифробениусовым кольцом.

Инъективная оболочка модуля RR играет важную роль в теории колец частных. Напр., если правый сингулярный идеал кольца Л равен нулю, Е- инъективная оболочка модуля RR, - ее кольцо эндоморфизмов, то R-модули и ER изоморфны, Еявляется кольцом, изоморфным кольцу L, и это кольцо оказывается максимальным правым кольцом частных кольца R, причем - самоинъективное справа регулярное (в смысле Неймана) кольцо.

В связи с различными задачами продолжения гомоморфизмов модулей рассматриваются классы модулей М, близких к инъективным: квазиинъективные (если и f :то f продолжается до эндоморфизма модуля М);псевдоинъективные (если f: и f - мономорфизм, то f продолжается до эндоморфизма модуля М);малоинъективные (все эндоморфизмы подмодулей продолжаются до эндоморфизмов модуля М). Квазиинъективность модуля Мравносильна инвариантности модуля Мв своей инъективной оболочке относительно ее эндоморфизмов.

Лит.:[1] Картан А., Эйленберг С, Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2] Маклейн С, Гомология, пер. с англ., М., 1966; [3] Faith С, Lectures on injective modules and quotient rings, B.-Hdlb.-N.Y., 1967; [4] Sharpe D. W., Vamos P., Injective modules, Camb., 1972.

А. В. Михалев, А. А. Туганбаев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ИНЪЕКТИВНЫЙ МОДУЛЬ" в других словарях:

  • Инъективный модуль — Инъективный модуль  одно из основных понятий гомологической алгебры. Модуль над кольцом (как правило, считаемым ассоциативным с единичным элементом) называется инъективным, если для всякого гомоморфизма и мономорфизма (инъективного… …   Википедия

  • Модуль — (от лат. modulus  «маленькая мера»): В Викисловаре есть статья «модуль» Мо …   Википедия

  • Модуль (значения) — Модуль (от лат. modulus  «маленькая мера»)  составная часть, отделимая или хотя бы мысленно выделяемая из общего. Модульной обычно называют вещь, состоящую из чётко выраженных частей, которые нередко можно убирать или добавлять, не разрушая вещь… …   Википедия

  • МОДУЛЬ — абелева группа с кольцом операторов. М. является обобщением (линейного) векторного пространства над полем Кдля случая, когда Кзаменяется нек рым кольцом. Пусть задано кольцо А. Аддитивная абелева группа Мназ. левым А модулем, если определено… …   Математическая энциклопедия

  • ИНЪЕКТИВНЫЙ ОБЪЕКТ — такой объект I абелевой категории С, что для каждого мономорфизма а : отображение является сюръективным. Всякий инъективный подобъект I объекта А. выделяется прямым слагаемым. Произведение И. о. всегда И. о. В случае, когда каждый объект в… …   Математическая энциклопедия

  • Проективный модуль — Проективный модуль  одно из основных понятий гомологической алгебры. С точки зрения теории категорий, проективные модули являются частным случаем проективных объектов. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 См. также …   Википедия

  • ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ — числовая характеристика объекта категории относительно некоторого выделенного класса объектов этой категории. Основная область применения этого понятия категории модулей над кольцом. Пусть фиксированный класс объектов абелевой категории и объект… …   Математическая энциклопедия

  • ПОДМОДУЛЬ — подмножество модуля, являющееся подгруппой его аддитивной группы и замкнутое относительно умножения на элементы основного кольца. В частности, левый (правый) идеал кольца R является П. левого (правого) R модуля R. П., отличный от всего модуля,… …   Математическая энциклопедия

  • КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, изучающий свойства коммутативных колец и связанных с ними объектов ( идеалов, модулей, нормирований и т. д.). К. а. выросла из задач, возникавших в теории чисел и алгебраич. геометрии. Задачи эти, как правило, относились к… …   Математическая энциклопедия

  • ЧИСТЫЙ ПОДМОДУЛЬ — в смысле Кона такой подмодуль Аправого R модуля В, что для любого левого R модуля Сестественный гомоморфизм абелевых групп инъективен. Это эквивалентно следующему условию: если система уравнений имеет решение в В, то она имеет решение и в А(ср.… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.