- ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ КОЛЬЦО
ассоциативное кольцо R с единицей, в к-ром все левые п правые идеалы являются главными, т. е. имеют вид
и
, соответственно, где
. Примеры Г. и. к.: кольцо целых чисел, кольцо многочленов
над полем F, кольцо косых многочленов
над полем Fс автоморфизмом
(элементы
имеют вид
сложение этих элементов обычное, а определяется умножение законами дистрибутивности и равенством
, где
), кольцо дифференциальных многочленов
над полем Fс дифференцированием
(это кольцо также состоит из элементов
причем сложение обычное, а умножение определяется равенством
, где
). Г. и. к. без делителей нуля наз. областью главных идеалов. Коммутативное Г. п. к. является прямой суммой областей главных идеалов п Г. и. к., обладающих единственным простым идеалом, к-рый нильпотентен (см. [2], с. 282). Если R - область главных идеалов, то два ненулевые элемента а, b кольца R имеют наибольший общий левый делитель ( а, b).и наименьшее общее правое кратное
, к-рые определяются как элементы, удовлетворяющие равенствам:
Элементы
единственны с точностью до обратимого правого множителя. Область главных идеалов является областью с однозначным разложением на множители. Двусторонние идеалы области главных идеалов образуют относительно умножения свободную коммутативную полугруппу с нулем и единицей (свободными порождающими этой полугруппы будут максимальные идеалы кольца).
Подмодуль Nсвободного модуля Мконечного ранга пнад Rявляется свободным модулем ранга
над R, п в модулях Ми Nможно так выбрать базисы
и
что
где
и
является полным (т. е.
) делителем элементов
при
. Каждый конечно порожденный модуль Кнад Rявляется прямой суммой циклич. модулей
,
, где
и
- полный делитель
при
. Эта теорема обобщает основную теорему о конечно порожденных абелевых группах. Элементы
из предыдущей теоремы определены однозначно с точностью до подобия (см. Ассоциативные кольца и алгебры). Эти элементы наз. инвариантными множителями модуля К. Кроме того, модуль K можно представить в виде прямой суммы далее неразложимых цнклич. модулей
где
Элементы
определены однозначно С точностью до подобия и наз. элементарными делителями модуля К. Если область Rглавных идеалов коммутативна, то
или
где
- неприводимые (простые) элементы кольца R. Из предыдущих утверждений вытекают обычные свойства элементарных делителей и инвариантных множителей линейных преобразований конечномерных векторных пространств [3].
Лит.:[1] Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947; [2] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М., 1963; [3] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. о франц., М., 1966. Л. А. Бакуть.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.