КАТЕГОРИЧНОСТЬ СИСТЕМЫ АКСИОМ

КАТЕГОРИЧНОСТЬ СИСТЕМЫ АКСИОМ
КАТЕГОРИЧНОСТЬ СИСТЕ́МЫ АКСИО́М
свойство, выражающее содержат. полноту системы аксиом. Система аксиом наз. категоричной, если она однозначно определяет только одну систему предметов с точностью до изоморфизма, т.е. если все интерпретации, или модели, этой системы изоморфны друг другу. Поскольку понятие изоморфизма интерпретаций допускает разные, не эквивалентные друг другу определения, постольку возможны и разные виды категоричности. В случае существования неизоморфных интерпретаций система аксиом наз. некатегоричной, или содержательно неполной.
Понятие категоричности – одно из основных понятий метода аксиоматического. Оно имеет исключительно семантич. смысл, т.к. характеризует интерпретации (модели) той или иной аксиоматич. системы. Первоначально возникло в геометрии при решении задач ее обоснования. Фундаментальным здесь явился результат Дж. Гильберта, впервые сформулировавшего содержательно полную аксиоматику евклидовой геометрии. В содержательно строящейся (неформальной) математике известен ряд категоричных систем аксиом, определяющих с точностью до нек-рого изоморфизма системы: натуральных чисел (аксиоматика Дедекинда – Пеано), действит. чисел, (напр., гильбертова аксиоматика числа) и др.
В определении категоричности слово "все" относится к произвольным моделям данной системы аксиом. Поскольку, однако, в большинстве случаев нельзя обозреть "все" произвольные модели, определение категоричности оказывается неконструктивным. При рассмотрении формальных систем аксиом возникают трудности, связанные с определением понятия К. с. а. Из теоремы Гёделя о неполноте вытекает, что обычная ф о р м а л ь н а я арифметика является неполной, т.е. допускает т. н. нестандартные модели, содержащие, помимо обычных натуральных чисел, еще какие-то дополнит. объекты. Естественно возникает вопрос о том, нельзя ли так уточнить понятие К. с. а., чтобы нестандартные модели были исключены. Одно из таких уточнений принадлежит англ. логику Крейселу, к-рый ввел понятие "рекурсивной модели" и показал, что примитивно-рекурсивная арифметика категорична относительно рекурсивных моделей, т. е., что не существует рекурсивных нестандартных моделей. Другое уточнение понятия категоричности принадлежит польскому логику Лосю, к-рый ввел понятие категоричности в данной мощности.
Лит.: Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.–Л., 1948; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Ladrière J., Les limitations internes des formalismes, Louvain – P., 1957; Kreisel G., Mathematical significance of consistency proofs, "J. Symbolic logic", 1958, v. 23, No 2; Loś J., On the categoricity in power of elementary deductive systems and some related problems, "Colloquium math.", 1954, v. 3, fasc. 1 (реферат этой статьи см. вреферативном ж. "Математика", 1955, No 4, [реф. ] 1607).
А. Субботин. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. . 1960—1970.


.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "КАТЕГОРИЧНОСТЬ СИСТЕМЫ АКСИОМ" в других словарях:

  • МОДЕЛЬ —         (франц. modele, от лат. modulus мера, образец, норма), в логике и методологии науки аналог (схема, структура, знаковая система) определ. фрагмента природной или социальной реальности, порождения человеч. культуры, концептуально теоретич.… …   Философская энциклопедия

  • ПОЛНОТА ДЕДУКТИВНАЯ — свойство формальной системы (исчисления), характеризующее достаточность его дедуктивных средств с т. зр. нек рых фиксированных критериев (содержательных или формальных). В зависимости от характера выбранного критерия приходят к той или иной… …   Философская энциклопедия

  • Натуральное число — Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.). Натуральные числа (естественные числа)  числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисл …   Википедия

  • МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ — общее название разл. реализаций идеи бесконечности в математике. Хотя между значениями понятия М. б. и др. значениями, в к рых употребляется термин бесконечность , нет жесткой границы (поскольку все эти понятия в конечном счете отражают весьма… …   Философская энциклопедия

  • ПОЛНОТА —         в логике и дедуктивных науках, свойство аксиоматич. теории, характеризующее достаточность для к. л. определ. целей её выразит. и дедуктивных средств. Аксиоматич. система наз. дедуктивно полной по отношению к данной интерпретации, если все …   Философская энциклопедия

  • ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ ЛОГИКА — (теоретико множественная логика п р е д и к а т о в) – логика, трактуемая с т. зр. теории множеств. К Т. м. л. в широком с м ы с л е можно отнести любые интерпретации логич. исчислений, в основу к рых положено объемное, экстенсиональное понимание …   Философская энциклопедия

  • Вещественное число — Вещественное, или действительное число [1] математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение… …   Википедия

  • Теория моделей — Теория моделей  раздел математической логики, который занимается изучением связи между формальными языками и их интерпретациями, или моделями. Название теория моделей было впервые предложено Тарским в 1954 году. Основное развитие теория …   Википедия

  • Моделей теория — Теория моделей  это раздел математической логики, который занимается изучением связи между формальными языками и их интерпретациями, или моделями. Название теория моделей было впервые предложено Тарским в 1954 году. Основное развитие теория… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»