ГАУССОВСКИЙ ПРОЦЕСС

- действительный случайный процесс любые конечномерные распределения к-рого являются гауссовскими, т. е. характеристич. функции совместных распределений вероятностей случайных величин при любых имеют вид:

где - математич. ожидание и

- корреляционная функция. Распределение вероятностей Г. п. полностью задается его математич. ожиданием A(t).и корреляционной функцией , . Для любой функции A(t).и любой положительно определенной функции существует Г. п. X (t), у к-рого среднее значение и корреляционная функция суть именно A(t).и В(t, s). Многомерный случайный процесс свекторными значениями

наз. гауссовским, если гауссовскими являются совместные распределения вероятностей любых величин

Комплексным Г. п. наз. случайный процесс вида

где действительные в совокупности образуют двумерный Г. п. Иногда, говоря о комплексном Г. п. , считают, что выполняется одно дополнительное условие:

EX(s)X(t) = A(s)A(t), где

A(t)=SX(t).

Это условие вводится для того, чтобы сохранить то свойство обычных гауссовских случайных величин, согласно к-рому некоррелированность равносильна независимости; его можно переписать следующим образом:

где

- корреляционная функция процесса и

Действительный обобщенный случайный процесс на линейном пространстве Uназ. обобщенным Г. п., если его характеристич. функционал имеет вид:

где - математич. ожидание обобщенного процесса

- его корреляционный функционал.

Пусть U - гильбертово пространство со скалярным произведением . Случайная величина Xсо значениями в пространстве Uназ. гауссовской, если случайный процесс вида обобщенный Г. п. Математич. ожидание является линейным непрерывным функционалом, а корреляционная функция - билинейным непрерывным функционалом на гильбертовом пространстве U, причем

где положительный оператор В - корреляционный оператор случайной величины , является ядерным. Для любых таких и существует гауссовская величина такая, что обобщенный процесс имеет средним значением и корреляционной функцией именно

Пример. Пусть - Г. п. на отрезке и пусть процесс измерим, причем

Тогда почти все траектории будут принадлежать пространству интегрируемых в квадрате функций на отрезке Тсо скалярным произведением

Формула

задает обобщенный Г. п. на этом пространстве U. При этом математич. ожидание и корреляционный функционал обобщенного процесса выражаются формулами:

где и - соответствующие математич. ожидание и корреляционная функция исходного процесса на отрезке .

Почти все основные свойства Г. п. (параметр tпробегает произвольное множество Т).могут быть выражены в геометрич. терминах при рассмотрении этого процесса как кривой в гильбертовом пространстве Нвсех случайных величин со скалярным произведением для к-рой

и

Ю. А. Розанов.

Стационарные в узком смысле Г. п. могут быть реализованы посредством нек-рых динамич. систем (сдвиг в пространстве траекторий, см. [1]). Полученные динамич. системы (их иногда наз. нормальными, сравни с нормальным распределением вероятностей) представляют интерес как примеры динамич. систем с непрерывным спектром, свойства к-рых благодаря упомянутому разложению Нмогут быть изучены с большой полнотой. Так были построены первые конкретные примеры динамич. систем с "неклассическими" спектральными свойствами. Д. В. Аносов.

Лит.:[1] Дуб Дж. Л., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [2] Ибрагимов И. А., Розанов Ю. А., Гауссовские случайные процессы, М., 1970; [3] Крамер Г., Лидбеттер М., Стационарные случайные процессы. Свойства выборочных функций и их приложения, пер. с англ., М., 1969; [4] Ito К., "J. Math. Soc. Japan", 1951, v. 3, М 1, p. 157-69; [5] его же, "Japan. J. Math.", 1952, v. 22, p. 63-86.